高中数学2.2.3两条直线的位置关系学案新人教B版必修.docx

2.2.3两条直线的位置关系1会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件2会判断两条直线相交、平行和重合，并会求两条直线的交点坐标3理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件，并能熟练运用这一条件判断两条直线是否垂直1两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20的位置关系，可以用方程组的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：方程组的解位置关系交点个数代数条件无解_无交点A1B2A2B10且B1C2B2C10(A2C1A1C20)或_有唯一解相交_A1B2A2B10或_(A2B20)有无数个解重合无数个交点A1A2，B1B2，C1C2(0)或_(A2B2C20)(2)两条直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断，具体判断方法如表所示.位置关系平行重合相交图示k，b满足条件_【做一做1】直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题：若l1l2，则斜率k1k2；若斜率k1k2，则l1l2；若倾斜角12，则l1l2；若l1l2，则倾斜角12.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D42两条直线垂直的条件(1)设直线l1，l2的方程分别为A1xB1yC10，A2xB2yC20(A1，A2，B1，B2均不为0)，则l1l2_.(2)设直线l1，l2的方程分别为yk1xb1，yk2xb2，则l1l2_.与直线l：AxByC0平行与垂直的直线若直线l与l平行，则l可设为AxByD0(DC)；若直线l与l垂直，则l可设为BxAyD0.过点(x0，y0)且与AxByC0平行的直线可表示为A(xx0)B(yy0)0；过点(x0，y0)且与AxByC0垂直的直线可表示为B(xx0)A(yy0)0.【做一做2】下列直线中与直线xy0垂直的是()Axy10 Baxaya0Cxy10 Dxy01关于直线的对称问题剖析：设直线l：AxByC0，则l关于x轴对称的直线方程是AxB(y)C0；l关于y轴对称的直线方程是A(x)ByC0；l关于原点对称的直线方程是A(x)B(y)C0；l关于yx对称的直线方程是BxAyC0；l关于直线yx对称的直线方程是A(y)B(x)C0；l关于点P(x0，y0)对称的直线方程是A(2x0x)B(2y0y)C0.求点关于点的对称点，点关于直线的对称点，直线关于点的对称直线，直线关于直线的对称直线问题，其实质都是中点问题与垂直问题的结合2教材中的“思考与讨论”已知直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，如何用这两条直线的斜率k1，k2以及b1，b2，判定这两条直线平行或者重合？证明你的结论，并说明与直线ykxb平行的直线可表示为ykxb1(b1b)剖析：l1l2的条件是k1k2且b1b2；l1与l2重合的条件是k1k2且b1b2.证明：设直线l1，l2的一般式分别为A1xB1yC10，A2xB2yC20，则k1，b1，k2，b2，而当A1B2A2B10且B1C2C1B20时，l1l2，所以当k1k2且b1b2时，l1l2.又因为当A1A2，B1B2，C1C2(0)时，l1与l2重合，所以当k1k2，b1b2时，l1与l2重合，所以k1k2且b1b2时，l1与l2重合题型一 判断两直线的位置关系【例1】判断下列直线的位置关系(1)已知两条直线l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)已知两条直线l1：3x6y140，l2：2xy20.分析：利用判断两直线位置关系的条件，可以用斜率形式，也可以用一般形式反思：(1)判断两条直线平行，首先判断其斜率相等(斜率存在时)，即k1k2.两条直线斜率相等，则两条直线可能平行也可能重合，还需要再进一步判断截距不相等，即b1b2.如果两条直线斜率不存在，两条直线为xa1，xa2，只需a1a2即可；判断两直线平行，也可用系数比(2)判断两直线垂直：如果斜率都存在，只判断k1k21；如果一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率必等于零，从斜率的角度判断，应注意上面的两种情况；利用A1A2B1B20判断题型二 利用两直线的位置关系定参数【例2】已知两条直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合？分析：根据两条直线相交、平行、重合的条件列方程或不等关系求解反思：利用两直线的位置关系定参数问题一定不要忽视特殊情况，即斜率为0或斜率不存在的情况，再者注意对结果进行检验题型三 求与已知直线平行或垂直的直线方程【例3】已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程分析：本题可根据直线平行与垂直时斜率间的关系，求出所求直线的斜率后用点斜式求解，也可利用直线系方程的方法来求解反思：求经过点A(x0，y0)与直线l：AxByC0平行或垂直的直线方程，当l的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程题型四 对称问题【例4】光线由点A(1,4)射出，在直线l：2x3y60上反射，已知反射光线过点B，求反射光线所在直线的方程分析：根据反射规律，所求反射光所在直线除了过点B外，还经过A关于l的对称点A.反思：点关于直线的对称一般要利用中点坐标公式及直线的垂直来综合解决，至于光的反射问题一定要看清谁做镜面，及入射光与反射光经过的点题型五 易错辨析【例5】求经过点A(2,1)且与直线2xay100垂直的直线l的方程错解：所求直线与2xay100垂直，根据l1l2k1k21，得所求直线的斜率为，根据点斜式得l：y1(x2)，整理得ax2y2a20.错因分析：漏掉a0时特殊情况的讨论，其实斜率为0的直线与斜率不存在的直线也是相互垂直的，但却不能用k1k21来求【例6】当a为何值时，直线x2ay10和直线(3a1)xay10平行？错解：由1，得3a1.a，当a时，两直线平行错因分析：漏掉对a0时的讨论，要知道利用上述分式条件容易丢解，克服的办法是先将特殊情况讨论完1已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于()A2 B1 C0 D12过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y103已知两直线l1：(3a)x4y53a0与l2：2x(5a)y80.(1)l1与l2相交时，a_；(2)l1与l2平行时，a_；(3)l1与l2重合时，a_；(4)l1与l2垂直时，a_.4求和直线4x3y50平行且在x轴上的截距为3的直线方程答案：基础知识梳理1(1)平行(A2B2C20)有一个交点(2)k1k2且b1b2k1k2且b1b2k1k2【做一做1】C错，正确2(1)A1A2B1B20(2)k1k21【做一做2】A典型例题领悟【例1】(1)解法一：直线l1化为斜截式为yx，直线l2化为斜截式为yx，由此可知l1的斜率为k1，在y轴上的截距为b1，l2的斜率为k2，在y轴上的截距为b2.因为k1k2，b1b2，所以l1l2.解法二：因为，所以l1l2.(2)解法一：由直线l1的方程，知l1的斜率为k1；由直线l2的方程，知l2的斜率为k22.显然，k1k2(2)1，所以l1l2.解法二：因为32(6)1660，所以l1l2.【例2】解：直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m.(1)若l1与l2相交，则A1B2A2B10，即13m(m2)0，即m22m30，(m3)(m1)0，m3且m1.故当m3且m1时，直线l1与l2相交(2)若l1l2，则有即即m1.故当m1时，直线l1与l2平行(3)若l1与l2重合，则有即m3.故当m3时，直线l1与l2重合综上所述，当m3且m1时，两直线相交；当m1时，两直线平行；当m3时，两直线重合【例3】(1)解法一：利用直线方程的点斜式求解由l：3x4y200，得kl.设过点A且平行于l的直线为l1，则kl1kl，所以l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.解法二：利用直线系方程求解设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x4ym0.由点A(2,2)在直线l1上，得3242m0，解得m14.故直线l1的方程为3x4y140.(2)解法一：设过点A与l垂直的直线为l2.因为klkl21，所以kl2，故直线l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.解法二：设l2的方程为4x3ym0.因为l2经过点A(2,2)，所以4232m0，解得m2.故l2的方程为4x3y20.【例4】解：如图所示，设点A关于直线l：2x3y60的对称点A的坐标为(x0，y0)，则，即3x02y011.AA的中点在直线l上，2360，即2x03y020.由解得由两点式方程可得反射光线所在直线的方程为y(x3)，即13x26y850.【例5】正解1：当a0时，已知直线化为x5，此时直线斜率不存在，则所求直线l的斜率为0，直线l过点A(2,1)，直线l的方程为y10(x2)，即y1.当a0时，已知直线2xay100的斜率为，直线l与已知直线垂直，设所求直线斜率为k，k1，k.直线l过点A(2,1)，所求直线l的方程为y1(x2)，即ax2y2a20.所求直线l的方程为y1或ax2y2a20.又y1是ax2y2a20的一个特例，因此上两条直线可合写成ax2y2a20.正解2：根据题意可设直线l的方程为ax2yD0，又点A在直线l上，2a21D0，D22a，所求直线l的方程为ax2y22a0.【例6】正解1：当a0时，由1，得3a1，a.当a0时，直线方程分别为x1和x1，两直线平行综上，当a0或a时，两直线平行正解2：由两直线平行，得由可得a0或a，由可得a.当a0或a时，两直线平行随堂练习巩固1D两条直线的斜率分别为a和a2且相互垂直，即a(a2)1，解得a1.2A与直线x2y20平行的直线方程可设为x2yc0，将点(1,0)代入解得c1，故直线方程为x2y10.3(1)7或1(2)7(3)1(4)由题