人教A版选修45二、绝对值不等式绝对值三角不等式2.ppt

绝对值三角不等式 绝对值的几何意义 a 几何意义 表示数轴上坐标为a的点a到原点的距离 a b 几何意义 表示数轴上实数a b对应的点a b之间的距离 即线段ab的长度 类比不等式基本性质的得出过程 同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想 从 运算 的角度考察绝对值不等式 如 对于实数a b 可以考察 a b a b a b a b a b 等之间的关系 用恰当的方法在数轴上把 a b a b 表示出来 同学们观察能发现它们之间有什么关系 ab 0 ab 0 1 当ab 0时 a b a b a 0 b 0 a 0 b 0 由图可得 a b a b 2 当ab 0时 a b a b a 0 b 0 a0 a b a b a b a b 3 如果ab 0 则a 0或b 0 易得 a b a b 综上所述 可得 建立模型 定理1 如果a b是实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 如果把定理1中的实数a b分别换为向量 能得出什么结果 定理1的几何意义 在不等式 a b a b 中 当向量不共线时 则由向量加法的三角形法则 用向量分别替换实数a b 向量构成三角形 故可得向量形式的不等式 a b a b 故该定理的几何意义为 三角形的两边之和大于第三边 绝对值三角不等式 证明 绝对值三角不等式 a b a b 证明 当ab 0时 ab ab a b 证明 当ab 0时 ab ab a b 故 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 应用与拓展 同学们能再探究一下 a b 与 a b a b 与 a b a b 与 a b 等之间的关系 如 如果a b是实数 则 a b a b a b 再如 如果a b c是实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 建立模型 定理2 如果a b c是实数 则 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 分析 由于a c a b与b c都是实数 且a c a b b c 证明 根据定理1 有 a c a b b c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 则可使用定理1的结论进行证明 定理2的几何意义 在数轴上 a b c所对应的点分别为a b c 1 当点b在点a c之间时 a c a b b c 2 当点b在点a c之外时 a c a b b c 典例分析 例 已知 0 x a y b 求证 2x 3y 2a 3b 5 证明 2x 3y 2a 3b 2x 2a 3y 3b 2 x a 3 y b 2 x a 3 y b 2 3 5 故 2x 3y 2a 3b 5 典例分析 例 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点 施工 这两个地点分别位于公路路牌的第10km和 第20km处 现要在公路沿线建两个施工队的共同 临时生活区 每个施工队每天在生活区和施工地点 之间往返一次 要使两个施工队每天往返的路程 之和最小 生活区应该建于何处 典例分析 分析 如果生活区建于公路路碑的第xkm处 两个施工队每天往返的路程之和为s x km 那么s x 2 x 10 x 20 故实际问题转化为数学问题 当x取何值时 函数s x 2 x 10 x 20 取得最小值 解 设生活区应该建于公路路碑的第xkm处 两个施工队每天往返的路程之和为s x km 则 s x 2 x 10 x 20 s x 2 x 10 x 20 我们先来考察它的图像 s x 2 x 10 x 20 s x 2 x 10 x 20 60 4x 0 x 10 20 10 x 20 4x 60 x 20 s x 2 x 10 x 20 x 10 x 20 x 10 20 x x 10 20 x 10 当且