二、导数的应用3.9函数极值与最值的应用.ppt

函数极值与最值的应用 1 利用导数求函数的极大 小 值 求函数在连续区间上的最大 小 值 2 了解导数在实际问题中的应用 对得出的实际问题 用数学语言抽象概括 通过建立数学模型 创造闭区间内求函数最值问题 学习目标 复习回顾 1 求在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 在 a b 上连续 a b 上可导的函数f x 在 a b 内未必有最大值与最小值 3 一旦给出的函数在 a b 上有个别不可导点的话 不要忘记在步骤 2 中 要把这些点的函数值与各极值和f a f b 放在一起比较 新课讲授 实际问题中的应用 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求函数的最大 小 值的问题 建立目标函数 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路 1 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 满足上述情况的函数我们称之为 单峰函数 2 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 解 设箱底边长为xcm 箱子容积为v x2h 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 箱高 令v 0 得x 40 x 0 舍去 得v 40 16000 当x过小 接近于0 或过大 接近于60 时 v 0 即箱子容积很小 答 当x 40时 容积最大为16000 求得唯一的极值点 因为l只有一个极值点 所以它是最大值 答 产量为84时 利润l最大 例2 已知某商品生产成本c与产量q的函数关系式为c 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时 利润l最大 在实际问题中 如果函数f x 在某区间内只有一个x0使f x0 0 而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 f x0 就是所求的最大值或最小值 所说区间也适用于开区间或无穷区间 例3 要生产一批带盖的圆柱形铁桶 要求每个铁桶的容积为定值v 怎样设计桶的底面半径才能使材料最省 此时高与底面半径比为多少 解 设桶底面半径为r 因为s r 只有一个极值 所以它是最小值 解 设b x 0 0 x 2 则a x 4x x2 从而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面积为 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以当时 因此当点b为时 矩形的最大面积是 课堂小结 1 利用导数解决应用问题要注意 1 利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域 不等式的证明及解法中有广泛的作用 2 在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大 小 值 而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点 那么立即可以判定 这个极值点的函数值就是最大 小 值 这一点在解决实际问题时很有用 2 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间