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2 3离散型随机变量的均值和方差 高二数学选修2 3 1 一 复习回顾 1 离散型随机变量的分布列 2 离散型随机变量分布列的性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 pi 1 2 复习引入 对于离散型随机变量 可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率 但在实际问题中 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征 例如 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平 很重要的是看平均分 要了解某班同学数学成绩是否 两极分化 则需要考察这个班数学成绩的方差 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征 最常用的有期望与方差 3 二 互动探索 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 1 设他所得环数为X 求X的分布列 2 求他所得的平均环数是多少 4 1 环数为X的可能所取的值为什么 1 2 3 4 其分布列 权数 加权平均 1 某人射击10次 所得环数分别是 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 1 设他所得环数为X 求X的分布列 2 求他所得的平均环数是多少 5 一 离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地 若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 6 1 随机变量 的分布列是 1 则E 2 随机变量 的分布列是 2 4 E 7 5 则a b 0 4 0 1 7 则P Y P aX b P X xi pi i 1 2 3 2 E Y ax1 b p1 ax2 b p2 axn b pn 若Y aX b 其中a b为常数 X为随机变量 1 写出随机变量Y的分布列 2 求Y的均值 解 1 由题意 知Y也为随机变量 所以 Y的分布列为 a x1p1 x2p2 xnpn b p1 p2 pn aE X b 即E aX b aE X b 8 例1篮球比赛中 罚球命中一次得1分 不中得0分 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球1次的得分X的均值是多少 解 于是有若X服从二点分布 一般地 如果随机变量X服从二点分布 那么 E X 1 p 0 1 p p 则E X p 9 若X B n p 若X服从二项分布 则E X nP 10 归纳求离散型随机变量的均值 期望 的步骤 确定离散型随机变量可能的取值 写出分布列 并检查分布列的正确与否 求出均值 期望 11 1 甲 乙两名射手在同一条件下射击 所得环数X1 X2分布列如下 从以数据你能否说明谁的射击水平高 解 表明甲 乙射击的平均水平没有差别 在多次射击中平均得分差别不会很大 12 2 有场赌博 规则如下 如掷一个骰子 出现1 你赢10元 出现2或3或4 你输3元 出现5或6 不输不赢 这场赌博对你是否有利 对你不利 劝君莫参加赌博 13 3 某商场要将单价分别为18元 kg 24元 kg 36元 kg的3种糖果按3 2 1的比例混合销售 如何对混合糖果定价才合理 解 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列 14 不一定 其含义是在多次类似的测试中 他的平均成绩大约是90分 例2 一次单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项正确 每题选对得5分 不选或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 解 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是 和 则 B 20 0 9 B 20 0 25 所以E 20 0 9 18 E 20 0 25 5 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5 和5 这样 他们在测验中的成绩的期望分别是 E 5 5E 5 18 90 E 5 5E 5 5 25 思考 学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗 他的均值为90分的含义是什么 15 例3 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时要损失60000元 遇到小洪水时要损失10000元 为保护设备 有以下3种方案 方案1 运走设备 搬运费3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能防小洪水 方案3 不采取措施 试比较哪一种方案好 解 用X1 X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案 无论有无洪水 都损失3800元 即X1 3800 采用第2种方案 遇到大洪水时 损失2000 60000 62000元 没有大洪水时 损失2000元 即 16 于是 E X2 62000 P X2 62000 2000 P X2 2000 E X1 3800 E X3 60000 P X3 60000 10000 P X3 10000 0 P X3 0 采用第3种方案 有 方案3 不采取措施 62000 0 01 2000 1 0 01 2600 60000 0 01 10000 0 25 3100 显然 采取方案2的损失最小 所以可以选择方案2 17 所以对于个别的一次决策 采用方案2也不一定是最好的 值得注意的是 上述结论是通过比较 平均损失 而得出的 一般地 我们可以这样来理解 平均损失 假设问题中的气象情况多次发生 那么采用方案2将会使损失减到最小 由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的 18 1 口袋中有5个球 编号为1 2 3 4 5 从中任取3个球 以 表示取出球的最大号码 则E 值的是 A 4B 4 5C 4 75D 5 3 若随机变量 B n 0 6 且E 3 则P 1 的值是 A 2 0 44B 2 0 45C 3 0 44D 3 0 64 B A C 19 4 已知X的概率分布如下 E X 7 5 则a 7 5 若随机变量X的分布列是P x k 0 1k 0 94 k k 0 1 2 3 4 则EX 0 4 20 离散型随机变量的均值的理解 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 E X 是一个实数 是由X的概率分布唯一确定的 它描述X取值的平均状态 3 变量Y aX b的均值 E aX b aE X b说明随机变量X的线性函数Y aX b的均值 或数学期望 等于随机变量X的均值 或数学期望 的线性函数 此式可有以下几种特殊形式 21 离散型随机变量的方差 22 三维目标 1 通过实例理解离散型随机变量方差的概念 能计算简单离散型随机变量的方差 2 理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布 二项分布的方差 3 会利用离散型随机变量的方差 反映离散型随机变量取值水平 解决一些相关的实际问题 教学重难点 重点 离散型随机变量方差的概念与计算方法难点 离散型随机变量方差的性质及应用题教学时间 2012年5月7日第十四周星期一 课题 离散型随机变量的方差 23 温故而知新 1 离散型随机变量X的均值 数学期望 2 均值的性质 3 两种特殊分布的均值 1 若随机变量X服从两点分布 则 2 若 则 反映了离散型随机变量取值的平均水平 24 发现两个均值相等 因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平 探究 25 1 分别画出的分布列图 2 比较两个分布列图形 哪一名同学的成绩更稳定 第二名同学的成绩更稳定 26 一组数据的方差 在一组数 x1 x2 xn中 各数据的平均数为 则这组数据的方差为 类似于这个概念 我们可以定义随机变量的方差 新课 27 离散型随机变量取值的方差和标准差 定义 注意 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量 它们的值越小 则随机变量偏离于均值的平均程度越小 即越集中于均值 稳定性越大 28 练习 因此第一名同学的射击成绩稳定性较差 第二名同学的射击成绩稳定性较好 稳定于8环左右 29 理解概念 可能取值的方差为 30 随机变量X的方差与X可能取值的方差何时相等 可能取值的方差为 31 随机变量的方差是常数 样本的方差是随机变量 对于简单随机样本 随着样本容量的增加 样本平均值越来越接近于总体方差 因此常用样本方差来估计总体方差 32 随着不同样本值的变化而变化 是一个常数 随着不同样本值的变化而变化 反映数据偏离平均数的平均程度 方差越小 偏离程度越小 是一个常数 反映随变量取值偏离均值的平均程度 方差越小 偏离程度越小 33 1 已知随机变量X的分布列 求DX 解 2 若随机变量X满足P X c 1 其中c为常数 求EX和DX EX c 1 c DX c c 2 1 0 练习 小结 1 若X服从两点分布 则 2 若 则 解 34 结论1 则 结论2 若 B n p 则E np 可以证明 对于方差有下面三个重要性质 结论 结论2 若 服从两点分布 则E np 2 若X服从两点分布 则 3 若 则 35 例如 已知某离散型随机变量 的分布列如下 则a 数学均值 期望 E 方差D 2 一般地 如果随机变量X服从两点分布 那么DX 3 一般地 随机变量 与随机变量 满足关系 a b 其中a b为常数 则D n 6p 0 4 0 4 1 0 8 p 1 p a2D 4 若 B n p 则D 例如 设 B n p 且E 2 4 D 1 44 求n p np 1 p 36 例题 例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子 求向上一面的点数X的均值 方差和标准差 课本P66例4 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为 从而 37 例2有甲乙两个单位都愿意聘用你 而你能获得如下信息 根据工资待遇的差异情况 你愿意选择哪家单位 比什么 怎么比 1比均值 2比方差 38 1200 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1600 1400 2 0 2 1800 1400 2 0 1 40000 1200 0 4 1400 0 3 1600 0 2 1800 0 1 1400 E X1 E X2 1000 0 4 1400 0 3 1800 0 2 2200 0 1 1400 D X1 1000 1400 2 0 4 1400 1400 2 0 3 1800 1400 2 0 2 2200 1400 2 0 l 160000 D X2 因为E X1 E X2 D X1 D X2 所以两家单位的工资均值相等 但甲单位不同职位的工资相对集中 乙单位不同职位的工资相对分散 这样 如果你希望不同职位的工资差距小一些 就选择甲单位 如果你希望不同职位的工资差距大一些 就选择乙单位 39 1 已知随机变量 的分布列为 P k k 1 2 3 则D 3 5 A 6B 9C 3D 4 2 设 B n p 且E 12 D 4 则n与p的值分别为 A C 40 4 设随机变量X B n p 且EX 1 6 DX 1 28 则 A n 8 p 0 2B n 4 p 0 4C n 5 p 0 32D n 7 p 0 45 A 3 已知 3 且D 13 那么D 的值为 A 39B 117C 39D 117 解析 D D 3 9D 9 13 117 答案 B 41 5 已知离散型随机变量X的分布列如下表 若EX 0 DX 1 则a b 42 题型四期望与方差的综合应用 例4 14分 2008 广东 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而生产1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为 1 求 的分布列 2 求1件产品的平均利润 即 的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 43 分析求 的分布列时 要先