青海2018届中考数学复习第2编专题突破篇题型5圆的证明与计算精讲习题.docx

题型五圆的证明与计算,命题规律与解题策略)【命题规律】圆的有关证明与计算是青海中考重点内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现分值在13分左右，难度在中等偏上【解题策略】解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线、找到解题思路与方法是关键一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等,重难点突破)与圆的基本性质有关的计算与证明【例1】(2017呼和浩特中考)如图，CD是O的直径，弦ABCD，垂足为M，若AB12，OMMD58，则O的周长为()A26B13C.D.【解析】根据条件构造垂径定理基本图，应用勾股定理求半径，最后求周长即可【答案】B【例2】(2017哈尔滨中考)如图，O中，弦AB，CD相交于点P，A42，APD77，则B的大小是()A43B35C34D44【解析】据题意，由外角关系可求得【答案】B1如图，CD为O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：AECDEB；(2)若CDAB，AB8，DE2，求O的半径解：(1)AECDEB，ACEDBE，AECDEB；(2)设O的半径为r，则OEr2.CDAB，AB8，AEBEAB4.在RtOEB中，由勾股定理，得(r2)216r2，解得r5.【方法指导】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算2(永州中考)如图，P是O外一点，PA，PB分别交O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90和50，则P(D)A45 B40C25 D20【方法指导】圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化与圆的切线有关的证明【例3】(2017荆门中考)已知：如图，在ABC中，C90，BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DEAD交AB于点E，以AE为直径作O.(1)求证：BC是O的切线；(2)若AC3，BC4，求BE的长【解析】(1)作半径证垂直，已知C90，只需要证明ACOD即可；(2)先用A型相似求出半径，再用BEABAE即可【答案】解：(1)连接OD.在RtADE中，点O为AE的中心，DOAOEOAE.点D在O上，且DAOADO.又AD平分CAB，CADDAO，ADOCAD，ACDO.C90，ODB90，即ODBC.又OD为半径，BC是O的切线；(2)在RtACB中，AC3，BC4，AB5.设ODr，则BO5r.ODAC，BDOBCA，即，解得r，BEABAE5.【例4】(2017枣庄中考)如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；(2)若BD2，BF2，求阴影部分的面积(结果保留)【解析】(1)连接OD，证明ODAC，即可证得ODB90，从而证得BC是O的切线；(2)在RtOBD中，设OFODx，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径求出圆心角的度数，用RtODB的面积减去扇形DOF的面积即可求得阴影部分面积【答案】解：(1)BC与O相切证明如下：连接OD.AD是BAC的平分线，BADCAD.又ODOA，OADODA，CADODA，ODAC，ODBC90，即ODBC.又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切； (2)设OFODx，则OBOFBFx2.由勾股定理，得OB2OD2BD2，即(x2)2x212，解得x2，即ODOF2，OB224.RtODB中，ODOB，B30，DOB60，S扇形DOF，S阴影SODBS扇形DOF222.故阴影部分的面积为2.3(2017宜城适应性试题)如图，在ABC中，ABC90，D是边AC上的一点，连接BD，使A21，E是BC上的一点，以BE为直径的O经过点D.(1)求证：AC是O的切线；(2)若A60，O的半径为2，求阴影部分的面积(结果保留根号和)解：(1)如图，连接OD.OBOD，12，DOC21.A21，ADOC.ABC90，AC90，DOCC90，ODC1809090，即ODAC.OD为半径，AC是O的切线；(2)ADOC60，OD2，在RtODC中，tan60，DC2tan6022，SRtODCODDC222，S阴影SRtODCS扇形ODE22.4(2017永州中考)如图，已知AB是O的直径，过O点作OPAB，交弦AC于点D，交O于点E，且使PCAABC.(1)求证：PC是O的切线；(2)若P60，PC2，求PE的长解：(1)连接OC.OBOC，ABCOCB.又PCAABC，PCAOCB.AB为O直径，ACB90.ACOOCB90，ACOPCA90，即OCP90，PC是O的切线；(2)在RtPCO中，tanP，OCPCtanP2tan602.sinP，OP4，PEOPOEOPOC42.【方法指导】证直线为圆的切线的两种方法：如果已知直线与圆有公共点，即可作出过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“作半径，证垂直”；如果不能确定某直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明它到圆心的距离等于半径，即“作垂直，证半径”在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角5(2017山西中考)如图，ABC内接于O，且AB为O的直径，ODAB，与AC交于点E，与过点C的O的切线交于点D.(1)若AC4，BC2，求OE的长；(2)试判断A与CDE的数量关系，并说明理由解：(1)AB是O的直径，ACB90.在RtABC中，由勾股定理，得AB2，AOAB.ODAB，AOEACB90.又AA，AOEACB，OE； (2)CDE2A.理由如下：连接OC.OAOC，ACOA.CD是O的切线，OCCD，OCD90，D