平面的基本性质平面的基本性质（2）.ppt

3 2 1平面的基本性质 二 楚水实验学校高一数学备课组 2020年3月2日星期一6时20分7秒 一 复习回顾 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 作用 寻找 确定或构建一个平面 图形语言 符号语言 d c 二 讲授新课 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 图形语言 符号语言 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面 证明 在直线l上任取两点b c 点a不在直线l上 a b c不共线 a b c有一个平面 b c在l上 经过直线l和点a的平面一定经过点a b c 经过不共线的三点a b c的平面只有一个 经过直线l和点a的平面的平面只有一个 证明 同理 即直线ad bd cd共面 直线l与点d可以确定一个平面 又 又 直线ad bd cd在同一个平面内 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 证明 在a上取不同于点p的点a 即 过a b有且只有一个平面 过直线b和点a只有一个平面 即 过a b只有一个平面 例2 已知a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 证明 如图 1 当q s r 三点重合时 如图 2 同理 a b可确定一个平面 即 a b c d共面 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 图形语言 符号语言 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面 证明 由平行线的定义知 a b在同一平面内 设点a为直线a上任一点 则点a在直线b外 点a和直线b在过a b的平面内 又由推论1 过点a和直线b的平面只有一个 过a b有且只有一个平面 例3 已知空间四点a b c d不在同一平面内 求证 ab cd既不平行也不相交 证明 假设ab和cd平行或相交 则ab cd可确定一个平面 与a b c d不共面矛盾 ab和cd既不平行也不相交 有三位同学证明如下 请判断正误 问题研讨 课堂练习 b b d 1 课堂小结 1 平面的基本性质的三个推论 2 三个推论的应用 课后作业 平面的基本性质应用归纳 1 三点共线2 三线共点3 作面面交线4 共面问题 公理2 公理3 纳入法 同一法 证明点为平面的公共点 找两平面的两个公共点 应用 一 证明三点共线问题 证明三点共线的方法 1 先由两点确定一条直线 然后证明另一个点也在此直线上 2 证明三点在两平面的交线上 二 证明三线共点问题 例题3 四面体abcd中 e g分别为bc ab的中点 f在cd上 h在ad上 且df fc 2 3 dh ha 2 3 求证 ef gh bd交于一点 证明三线共点的方法 证明两直线的交点在第三直线上 而第三直线又往往是两平面的交线 在正方体abcd a1b1c1d1中 画出过m n p三点的截面 例4 a d c b a1 b1 c1 d1 m p n 三 画平面交线问题 a d c a1 b1 c1 d1 b n m p a d c a1 b1 c1 d1 p n m b 例5 直线ab bc ca两两相交 交点分别为a b c 判断这三条直线是否共面 并说明理由 如图 解 这三条直线共面 因为直线ab和直线ac相交于点a 所以直线ab和ac确定一个平面 推论2 因为b ab c ac 所以b c 故bc 公理1 因此直线ab bc ca都在平面 内 即它们共面 四 证明共面问题 证共面问题 可先由公理3 或推论 证某些元素确定一个平面 再证其余元素都在此平面内 或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内 再证两个平面重合 解法二 因为a在直线bc外 所以过点a和直线bc确定平面 推论1 因为a b bc 所以b 故ab 同理ac 所以ab ac bc共面 解法三 因为a b c三点不在一条直线上 所以过a b c三点可以确定平面 公理3 因为a b 所以ab 公理1 同理bc ac 所以ab bc ca三直线共面 纳入法 已知 直线a b c a l a b l b c l c求证 a b c l共面 a a 证明 又 a l a b l b a b a b c l共面 b c b c l 1 三个公理的符号表示及其作用2 公理3的三个推论 推论1经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面3 公理3及其三个推论的作用是确定平面4 证明若干个点 线共面的方法 先证其中某些点 线确定一个平面 再证剩余点 线落在此平面内 五 小结 思考三条直线可确定几个平面 四条直线可确定几个平面 3条直线相交于一点时 三条直线相交于一点 用其中的两条确定平面 最多可以确定3个 1 3条直线共面时 2 每2条直线确定一平面时 4条直线相交于一点时 三条直线相交于一点 用其中的两条确定平面 最多可以确定6个 1 4条直线全共面时 2 有3条直线