数学人教版九年级下册28.2.1解直角三角函数.docx

28.2.1解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形.2.会利用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.1.综合运用所学知识解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.2.通过学习,发展分析、归纳、抽象、概括的能力,培养学生从已有的知识、特殊图形中去感知、迁移.1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯.2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数学的信心.【重点】理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.【难点】理解并掌握解直角三角形的方法.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习、记忆特殊三角函数值.导入一:【复习提问】1.在RtABC中,C=90,A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,A,B这五个元素之间有哪些等量关系呢?【学生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨,并归纳五个元素之间的关系.【课件展示】(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:A+B=90;(3)边角之间关系:sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab.2.回忆30,45,60角的正弦、余弦、正切值.导入二:在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题,把1972年的情形抽象为数学问题为:设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C(如图所示).在RtABC中,C=90,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求A的度数.【师生活动】学生独立思考后回答,教师点评.sin A=BCAB=5.254.50.0954.利用计算器可得A528.【追问】在RtABC中,你还能求出其他的边和角吗?【师生活动】学生思考后回答解题思路,教师把问题一般化,引出本节课课题.过渡语一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在直角三角形中,已知三角形的一些边角元素,我们可以求解直角三角形中的其他元素,什么情况能求解、如何求解就是我们这节课要学习的主要内容.设计意图通过回顾直角三角形中边与角、边与边、角与角之间的数量关系,为本节课的学习做好铺垫,以实际问题导入新课,体会数学来源于生活,激发学生学习兴趣,同时通过已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素,很自然地过渡到本节课的课题.一、共同探究思路一探究: (1)在RtABC中,A=60,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(2)在上图中,若AC=2,BC=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(3)在上图中,若A=60,B=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?(4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素?【师生活动】小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的回答进行汇总归纳.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边;已知一条边和一个锐角.思路二【思考】如图所示,在RtABC中,C=90,已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素?(1)已知直角三角形中的一个元素,能求其他元素吗?(2)已知直角三角形中的两个元素,有几种可能的情况?(一边和一角、两边、两角)(3)举例说明已知直角三角形的两个元素,怎样求其他元素?(4)你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗?具体解法步骤是什么?【师生活动】学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.【课件展示】(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一条边),就可以求出其余的三个未知元素.(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.(3)解直角三角形,只有两种:已知两条边;已知一条边和一个锐角.(4)解直角三角形的步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边,一直角边(如c,a)(1)b=c2-a2(2)由sin A=ac求A(3)B=90-A两直角边(a,b)(1)c=a2+b2(2)由tan A=ab求A(3)B=90-A一边一角斜边,一锐角(如c,A)(1)B=90-A(2)由sin A=ac,得a=csin A(3)由cos A=bc,得b=ccos A一直角边,一锐角(如a,A)(1)B=90-A(2)由tan A=ab,得b=atanA(3)由sin A=ac,得c=asinA设计意图学生在教师问题的引导下思考分析,合作交流并归纳结论,学生经历概念的形成过程,理解掌握解直角三角形的概念,提高学生分析问题的能力,培养学生的发散思维能力.二、例题讲解(教材例1)如图所示,在RtABC中,C=90,AC=2,BC=6,解这个直角三角形.教师引导分析:(1)已知线段AC,BC是A的邻边和对边,用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系?(2)已知A的三角函数值可以求A的度数吗?(3)已知A的度数怎样求B的度数?(4)你有几种方法可以求斜边AB的长?【学生活动】思考后独立完成,小组内交流答案,小组代表板书过程.【课件展示】解:tan A=BCAC=62=3,A=60,B=90-A=90-60=30,AB=2AC=22.(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,B=35,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).教师引导分析:由B=35,可得A=;由B=35及它的对边b=20,根据可得a=;由B=35及它的对边b=20,根据可得c=.【追问】你还有其他方法求c的值吗?【学生活动】在教师提出的问题的引导下,独立完成解答过程,小组内交流答案,组长指出组内成员的错误,并帮助改正.教师对学生的板书进行点评,强调规范性,并鼓励学生用多种方法求解.【课件展示】解:A=90-B=90-35=55.tan B=ba,a=btanB=20tan 3528.6.sin B=bc,c=bsinB=20sin 3534.9.设计意图通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,同时提高学生分析问题和解决问题的能力,通过规范书写过程,培养学生严谨的学习态度.知识拓展(1)直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条边,就可以求出其余的所有未知元素.(2)运用关系式解直角三角形时,常用到下列变形:锐角之间的关系:A=90-B,B=90-A.三边之间的常用变形:a=c2-b2,b=c2-a2,c=a2+b2.(3)边角之间的常用变形:a=csin A,b=ccos A,a=btan A,a=ccos B,b=csin B,b=atan B.(4)虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种,但为了计算方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则.(5)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.(6)遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转化为直角三角形求解.1.解直角三角形的概念2.直角三角形中五个元素之间的关系:(1)三边之间关系:a2+b2=c2(勾股定理);(2)两锐角之间关系:A+B=90;(3)边角之间关系:sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab.3.解直角三角形的基本类型及解法步骤:(参考前面表格)1.由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.已知一个直角三角形中:(1)两条边的长度;(2)两个锐角的度数;(3)一个锐角的度数和一条边的长度.利用上述条件中的一个,能解这个直角三角形的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)解析:能解的直角三角形有两种:已知两边;已知一边和一锐角.故选B.2.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.csin A=aB.bcos B=cC.atan A=bD.ctan B=b解析:由a2+b2=c2,得C=90,sin A=ac,cos B=ac,tan A=ab,tan B=ba,csin A=a,ccos B=a,btan A=a,atan B=b.故选A.3.在RtABC中,C=90,B=30,BC=6,则AB的长为.解析:cos B=BCAB=32,BC=6,AB=BCcosB=43.故填43.4.根据下列条件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,b=4,c=8;(2)在RtABC中,C=90,A=60,a=12.解:(1)C=90,b=4,c=8,a=c2-b2=82-42=43,cos B=ac=32,B=30,A=180-90-30=60.(2)C=90,A=60,B=180-90-60=30.tan A=tan 60=ab=3,a=12,b=43,c=2b=83.28.2.1解直角三角形1.共同探究3.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第77页习题28.2第1题.【选做题】教材第78页习题28.2第6题.二、课后作业【基础巩固】1.在RtABC中,C=90,sin A=12,则B等于()A.30B.45C.60D.902.在RtABC中,C=90,B=35,AB=7,则BC的长为()A.7sin 35B.7cos 35C.7cos 35D.7tan 353.在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sin B=55B.cos B=25C.tan B=2D.AB=34.在RtACB中,C=90,AB=10,sin A=35,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.如果等腰三角形的底角为30,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5 cm2B.93 cm2C.183 cm2D.36 cm26.在RtABC中,C=90,b=10,A=30,则a=.7.在RtABC中,C=90,AC=5,AB=52,则A=,BC=.8.如图所示,在RtABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=45,则AC=.9.根据下列条件解直角三角形.(1)在RtABC中,C=90,AB=10,BC=5.(2)在RtABC中,C=90,A=60,BC=3.10.如图所示,已知在ABC中,AD是BC边上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=45.求:(1)线段DC的长;(2)tanEDC的值.【能力提升】11.如图所示,RtABC中,ACB=90,若AB=4,sin A=35,则斜边AB上的高CD为.12.如图所示,在ABC中,AB=2,AC=2,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则BAC的度数是.13.如图所示,在ABC中,A=30,B=45,AC=23,则AB的长为.14.如图所示,在菱形ABCD中,DEAB于点E,cos A=35,BE=4,求tanDBE的值.【拓展探究】15.如图所示,已知RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,过点A作AECD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD=5,求BE的长.【答案与解析】1.C(解析:由sin A=12,得A=30,则B=90-A=60.故选C.)2.C(解析:cos B=BCAB=BC7,BC=7cos B=7cos 35.故选C.)3.A(解析:在RtABC中,C=90,AC=1,BC=2,AB=5,sin B=55,cos B=255,tan B=12.故选A.)4.A(解析:C=90,AB=10,sin A=BCAB=35,BC=3510=6.故选A.)5.B(解析:如图所示,作底边上的高AD.B=30,AB=6 cm,则AD=ABsin B=612=3(cm),BD=ABcos B=632=33(cm).BC=2BD=63 cm,SABC=12ADBC=12363=93(cm2).故选B.)6.1033(解析:cos A=bc=32,b=10,c=2033,a=12c=1033.)7.455(解析:cos A=ACAB=22,A=45,C=90,B=A=45,BC=AC=5.)8.5(解析:在RtABC中,cos B=45,sin B=35,tan B=sinBcosB=34.在RtABD中,AD=4,AB=ADsinB=435=203.在RtABC中,tan B=ACAB,AC=34203=5.故填5.)9.解:(1)根据勾股定理可得AC=102-52=53,又sin A=BCAB=12,A=30,B=90-A=60.(2)在RtABC中,C=90,B=90-A=30.又sin A=BCAB=32,AB=2,由勾股定理可得AC=22-(3)2=1.10.解:(1)AD是BC边上的高,ABD和ACD是直角三角形,在RtABD中,sin B=45,ADAB=45,又AD=12,AB=15,BD=AB2-AD2=9,又BC=14,CD=5.(2)在RtACD中,E为斜边AC的中点,ED=EC=12AC,C=EDC,tanEDC=tan C=ADDC=125.11.4825(解析:在RtABC中,AB=4,sin A=35,BC=ABsin A=125.根据勾股定理得AC=AB2-BC2=165.SABC=12ACBC=12ABCD,CD=ACBCAB=1651254=4825.故填4825.)12.105(解析:如图所示,连接AD,则ADBC,在RtABD中,AB=2,AD=1,则sin B=ADAB=12,B=30,BAD=60,同理,在RtACD中,得到CAD=45,因而BAC的度数是105.故填105.)13.3+3(解析:如图所示,过C作CDAB于D,ADC=BDC=90,B=45,BCD=B=45,CD=BD,A=30,AC=23,CD=3,BD=CD=3,由勾股定理得AD=AC2-CD2=3,AB=AD+BD=3+3.故填3+3.)14.解:四边形ABCD是菱形,AD=AB,cos A=35,BE=4,DEAB,设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,x=2,即AD=10,AE=6,在RtADE中,由勾股定理得DE=102-62=8,在RtBDE中,tanDBE=DEBE=84=2.15.解:(1)AECD,ACB=90,AHC=ACB=90,CD是AB上的中线,CD=AD=BD=12AB,DAC=DCA,B=DCB,B=CAH,AH=2CH,CHAHAC=125,sin B=sinCAH=CHAC=55.(2)由(1)可知ACBCAB=125,CEACAE=125,CD=5,AB=25,AC=2,BC=4,CE=1,BE=BC-CE=4-1=3.在教学设计中,通过回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系,为下一步解直角三角形打下基础,再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性,激发学生学习本节课的学习兴趣,同时解决章前导入问题,做到首尾呼应.通过解含有特殊角的直角三角形的探究活动,归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤,由浅入深地引导探究,学生更易于掌握本节课的重点和难点,同时培养了学生的归纳总结能力.通过例题学会灵活运用直角三角形知识解决问题,加深对解直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨地求学精神.本节课的重点是解直角三角形,教学设计中追求新理念在课堂中的应用,重视学生参与课堂,所以教学设计中以问题为引领,小组合作交流为主要教学活动形式,预期学生课堂气氛活跃,人人参与课堂,让每个学生体验成功的快乐,但在授课过程中过于追求形式,课堂中的讨论交流只是流于形式,所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率.复习直角三角形三边之间的关系、角之间的关系及边角之间的关系,为本节课的学习打下基础,同时以生活实际问题导入新课,激发学生学习兴趣,调动学生学习的积极性.通过探究已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程,很自然地引出解直角三角形的概念,学生经历概念的形成过程,更利于理解与掌握.例题的分析讲解,让学生体会解直角三角形的方法,提高学生学习能力,培养良好的思维习惯.练习(教材第74页)解:(1)在RtABC中,C=90,c=30,b=20,a=302-202=105,cos A=2030=23,A48,B90-48=42.(2)在RtABC中,A=90-72=18,sin 72=b14,b=14sin 72140.95113.31.cos 72=a14,a=14cos 72140.3094.33.(3)在RtABC中,A=90-30=60,tan 30=b7,b=337=213,c=2b=2213=2213.更新教学理念,提高课堂效率(1)新课程改革要求:让学生通过交流、合作、讨论的方式,积极探索,改进学习方法,提高学习质量,逐步形成正确地数学价值观.以这一理念为前提,在教学设计中以解决章前比萨斜塔问题导入新课,让学生体会数学与生活