等边三角形内的旋转.doc

中考专题玩转等边三角形类型一：抓住等边三角形的边进行旋转1如图，ABC为等边三角形，D是ABC内一点，若将ABD经过一次逆时针旋转后到ACP的位置，则旋转中心是_，旋转角等于_，ADP是_三角形2如图，设P是等边ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则APB的度数是_3已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD跟踪练习：1. 如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1，猜想QEP= ；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长2、（海淀期末）在ABC中，AB=AC，BAC=，点P是ABC内一点，且连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系图1 图2（1）当=60时，将ABP绕点A逆时针旋转60得到，连接，如图1所示由可以证得是等边三角形，再由可得APC的大小为 度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；（2）如图2，当=120时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 3（13年中考）在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。专题二、抓住其它等线段构造旋转类型全等三角形例题：、已知：等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60至，连接.（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与MF的数量关系是_；（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；图3（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.图1图2 跟踪练习：（石景山期末）已知是等边三角形，点，分别是边，的中点，点是射线上的一个动点，作等边，使与在边同侧，连接.（1）如图1，当点与点重合时，直接写出线段与线段的数量关系；（2）当点在线段上（点与点，不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接，直线与直线相交于点，若的面积是面积的9倍，请直接写出线段的长. 图1 图2 备用图答：（1）. 1分 （2）补全图形，如图1所示. 2分结论成立. 证明：连接，如图2.图1是等边三角形， .，分别是边，的中点，. . 又是等边三角形，. 图2. . 4分. 5分 （3）的长为1或2. 7分专题三、等边三角形内的其它类型例题：（16年中考）在等边ABC中：（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，BAP=20，求AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM依题意将图2补全；小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA=PM，只需证APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证ANPPCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）【答案】（1）40；（2）作图见解析；证明见解析【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到APB=AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据要求作出图形，如图2；BAP=CAQ，点Q关于直线AC的对称点为M，AQ=AM，QAC=MAC，MAC=BAP，BAP+PAC=MAC+CAP=60，PAM=60，AP=AQ，AP=AM，APM是等边三角形，AP=PM考点：三角形综合题跟踪练习：（怀柔期末）在等边ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作AEM=60，交ACG的平分线于点M.(1)如图（1），当点E在BC边的中点位置时,通过测量AE，EM的长度，猜想AE与EM满足的数量关系是 ；(2) 如图（2），小晏通过观察、实验，提出猜想：当点E在BC边的任意位置时，始终有AE=EM.小晏把这个猜想与同学进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：在BA上取一点H使AH=CE，连接EH，要证AE=EM， 只需证AHEECM.想法2：找点A关于直线BC的对称点F，连接AF，CF，EF.（易证BCF+BCA+ACM=180，所以M，C，F三点在同一直线上）要证AE=EM，只需证MEF为等腰三角形.想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转60，得到线段BF，连接CF，EF，要证AE=EM，只需证四边形MCFE为平行四边形.请你参考上面的想法，帮助小晏证明AE=EM.（一种方法即可）(1)相等；1分(2)想法一：ABC是等边三角形，AB=BC, B=60. 2分AH=CE,BH=BE.BHE=60.AC/HE.1=2. 3分在AOE和COM中,ACM=AEM=60,AOE=MOE,1=3.2=3. 5分BHE=60,AHE=120.ECM=120.AHE=ECM. 6分AH=CE,AHEECM（AAS）.AE=EM. 7分（或根据一线三等角证ABEECO,得BAE=CEM,再证AHE=ECM,得AHEECM（ASA）想法二：在AOE和COM中, ACM=AEM=60,AOE=COM,EAC=EMC. 3分又对称ACEFCE,EAC=EFC, AE=EF. 5分EMC=EFC.EF=EM.AE=EM. 7分想法三：将线段BE绕点B顺