2015年全国各地数学中考试题圆的有关性质解析汇编五

1 2015年全国各地数学中考试题圆的有关性质解析汇编五 2015中考分类圆解析 一 选择题 （ 2015嘉兴） 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ） （ A） 1 个 （ B） 2 个 （ C） 3 个 （ D） 4 个 考点：中心对称图形 . 分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解 解答：解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称 图有 2 个 故选： B 点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 1.（菏泽） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= 3 x 经过点 A,作 AB x轴于点 B，将 ABO绕点 B逆时针旋转 60得到 CBD，若点 B的坐标为（ 2， 0），则点 C的坐标为 A )2,3.(D)1,3.(C)3,2.(B)3,1.(A 1.（福建龙岩） 如图，等边 ABC的周长为 6 ，半径是 1的 O从与 AB相切于点 D 的位置出发，在 ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相切于点 D的位置，则 O自转了（ ） A 2周 B 3周 C 4周 D 5周 A B C O D 2 2.（兰州） 如图，经过原点 O的 P与 x 、 y 轴分别交于 A、 B两点，点 C是劣弧上一点，则 ACB= A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定 3.（兰州） 如图， O 的半径为 2， AB， CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是 O上任意一点（ P 与 A， B， C， D 不重合），过点 P 作 PM AB 于点 M， PN CD于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45时，点 Q 走过的路径长为 A. 4B. 2C. 6D. 34.(广东 ) 如题 9图，某数学兴趣小组将边长为 3的正方形铁丝框 ABCD 变形为以A为圆心， AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细 )，则所得的扇形 DAB 的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】 D. 【解析】显然弧长为 BC CD的长，即为 6，半径为 3，则 1 6 3 92S 扇 形. 3 5.（广东梅州） 如图， AB是 O的弦， AC是 Or切线， A为切点， BC 经过圆心 .若 B=20，则 C的大小等于（ ） A 20 B 25 C 40 D 50 考点：切线的性质 . 分析：连接 OA，根据切线的性质，即可求得 C的度数 解答：解：如图，连接 OA， AC是 O的切线， OAC=90 ， OA=OB， B= OAB=20 ， AOC=40 ， C=50 故选： D 点评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键 6.（ 汕尾） 如图， AB 是 O 的弦， AC 是 O 的切线， A 为切点， BC 经过圆心。若 B=20，则 C的大小等于 A.20 B.25 C.40 D.50 7.（ 贵州安顺）如 上 图 O的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足是 E ， 22.5A ， 4OC ，CD 的长为 （ ） A 22 B 4 C 24 D 8 ACB OA B C D E O 4 8.（ 河南） 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2， O3， 组成一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第 2015 秒时，点 P 的坐标是（ ） A.（ 2014,0） B.（ 2015， -1） C. （ 2015,1） D. （ 2016,0） 9.（ 湖南 常德） 如图 ， 四边形 ABCD 为 O 的 内 接四边形，已知 BOD 100， 则 BCD 的 度数为： A、 50 B、 80 C、 100 D、 130 【 解答 与分析】 圆 周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ： 答案为 D 10.（ 常德） 若 两个扇形满足 弧 长的比等于它们半径的比，则这 称 这两个扇形相似。如 图 ，如果扇形 AOB 与扇形1 1 10AB是 相似扇形，且半径11:OA O A k(k 为 不等于 0 的常数 )。那么 下面 四个结论： AOB 1 1 10AB； AOB1 1 10AB；11AB kAB ； 扇形 AOB 与扇形1 1 10AB的 面积 之 比为 2k 。 成立 的 个数为： A、 1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 【 解答 与分析】 这 是 一 个阅读，扇形相似的意义理解，由 弧 长公式 2360n r可 以得到： 正确 ，由 扇形 面积公式 2360n r可 得到 正确 P O 第 8 题 O1 x y O2 O3 100 0第6题图ODBAC5 11.（ 湖南株洲） 如图 ，圆 O 是 ABC 的 外接圆， A 68， 则 OBC 的大小是 A、 22 B、 26 C、 32 D、 68 【试题 分析 】 本 题考点 为 ： 通过圆 心角 BOC 2 A 136， 再利用等腰三角形 AOC 求出 OBC 的度数 答案 为： A 第6 题图OCBA12（ 黔西南州） 如图 2，点 P在 O外， PA、 PB分别与 O相切于 A、 B两点， P=50，则 AOB等于 A 150 B 130 C 155 D 135 13.（青岛） 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，若直线 PA与 O相切于点 A，则 PAB=（ ） A 30 B 35 C 45 D 60 O ABB1O1A16 DCBAO14.（临沂） 如图 A， B， C 是 Oe 上的三个点，若 100AOCo ，则 ABC 等于 (A) 50. (B) 80. (C) 100. (D) 130. 15（ 上海） 如图，已知在 O 中， AB 是弦，半径 OC AB，垂足为点 D，要使四边形 OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A、 AD BD； B、 OD CD； C、 CAD CBD； D、 OCA OCB 【答案】 B 【解析】因 OC AB， 由垂径定理，知 AD BD，若 OD CD，则对角线互相垂直且平分，所以， OACB 为菱形。 16（ 深圳） 如图， AB 为 O 直径，已知为 DCB=20o,则 DBA 为（ ） A、 o50 B、 o20 C、 o60 D、 o70 【 答案】 D 【解析】 AB 为 O 直径，所以， ACB=90o， DBA DCA o70 17（ 成都） 如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ，半径为 4 ，则这个正六边形的边心距OM 和 弧 BC 的长分别为 O A B C （第 8 题图） CMEDA OFB7 （ A） 2 、3（ B） 32 、 （ C） 3 、 23（ D） 32 、 43【答案 】 ： D 【解析 】 在正六边形中，我们连接 OB 、 OC 可以 得到 OBC 为等边三角形，边长等于半径 4 。因为 OM 为边心距，所以 OM BC ，所以，在边长为 4 的等边三角形中，边上的高 =2 3OM 。弧 BC 所对的圆心角为 60 ，由弧长计算公式：6 0 4243 6 0 3BC o ， 选 D。 18（泸州 ） 如图， PA、 PB分别与 O相切于 A、 B两点，若 C=65，则 P 的度数为 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考点：切线的性质 . 分析： 由 PA与 PB都为圆 O的切线，利用切线的性质得到 OA垂直于 AP， OB垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知 C 的度数求出 AOB 的度数，在四边形 PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出 P 的度数 解答： 解： PA 、 PB 是 O 的切线， OAAP ， OBBP ， OAP=OBP=90 ， 又 AOB=2C=130 ， 则 P=360 （ 90+90+130 ） =50 故选 C 点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键 19(四川 自贡 ) 如图， AB 是 O的直径，弦 ,C D A B C D B 3 0 C D 2 3 o ，,则 阴影部分的面积为 （ ） A.2 B. C.3D.23第 8题图POABCDCOA B8 考点： 圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、 轴对称的性质 等 . 分析 ：本题抓住圆的相关性质切入把 阴影部分的面积转化到一 个扇形中来求 .根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知 E 是弦 CD 的中点 ,B 是弧 CD的中点；此时解法有三： 解法一，在弓形 CBD中，被 EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形 COB来求；解法二，连接 OD,易证 ODE OCE ，所以阴影部分的面积之和转化到扇形 BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形 COD的面积的一半 . 略解： AB 是 O的直径， AB CD E 是弦 CD 的中点 ,B 是弧 CD 的中点（垂径定理） 在弓形 CBD中，被 EB分开的上下两部分的面积是相等的 (轴对称的性质 ) 阴影部分的面积之和等于扇形 COB的面积 . E 是弦 CD 的中点， CD 2 3 11C E C D 2 3 322 AB CD OEC 90o COE 60o , 1OE OC2. 在 Rt OEC 中，根据勾股定理可知： 2 2 2O C O E C E 即 2 22 1O C O C 32. 解得 :OC 2 ;S 扇形 COB = 226 0 O C 6 0 2 233 6 0 3 6 0 oooo.即 阴影部分的面积之和为 23.故选 D. 20.（ 云南） 如图， AB是 O的直径， CD为弦， CD AB于 E，则下列结论中 不成立 的是 ( ) A A D B CE DE C ACB 90 D CE BD 21（杭州 ） 圆内接四边形 ABCD 中，已知 A=70，则 C=( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 【考点】 圆内接四边形 的性质 . EECBDA O9 【分析】 圆内接四边形 ABCD 中，已知 A=70， 根据 圆内接四边形 互补的性质，得 C=110. 故选 D 22（嘉兴 ） .如图， 中， AB=5， BC=3， AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，则 C的 半径为 （） （ A） 2.3 （ B） 2.4 （ C） 2.5 （ D） 2.6 考点：切线的性质；勾股定理的逆定理 . 分析：首先根据题意作图，由 AB 是 C 的切线，即可得 CDAB，又由在直角 ABC 中，C=90， AC=3， BC=4，根据勾股定理求得 AB 的长，然后由 SABC= ACBC= ABCD，即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长 解答：解：在 ABC 中， AB=5， BC=3， AC=4， AC2+BC2=32+42=52=AB2， C=90， 如图：设切点为 D，连接 CD， AB 是 C 的切线， CDAB， SABC= ACBC= ABCD， ACBC=ABCD， 即 CD= = = ， C 的半径为 ， 故选 B 点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用 10 二 填空题 1.（ 安顺 ） 如图，在 ABCD中， AD=2， AB=4， A=30 ，以点 A为圆 心， AD的长为半径画弧交 AB于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 _（结果保留 ） 331 2.（ 孝感） 已知圆锥的侧面积等于 60 cm2，母线长 10cm，则圆锥的高是 cm 8 3.（ 常德） 一 个圆锥的底面半径为 1 厘米，母 线 长为 2 厘米，则该 圆锥 的侧面积是 2厘 米 （ 结果保留 ） 。 【 解答 与分析】 此 题考的是 圆锥侧 面积的 求 法公式： 11 2 ( 2 1 ) 222lr 4. （ 常德）已知 A 点 的坐标为（ 1,3），将 A 点绕坐标原点顺时针 90， 则点 A 的对应点的坐标为 【 解 析】 此 题考点为 坐标 点的变换规律，作出草图如右 可 知 BCO EDO， 故 可 知 BC OE， OC DE 答案 为：（ 3,1） 5.（ 湖南衡阳） 圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 3 （结果保留 ） 6. （ 2015益阳）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O， O 的半径为 1，则 的长为 A B C D E 30 yxBODC E11 考点： 弧长的计算；正多边形和圆 分析： 求出圆心角 AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可 解答： 解： ABCDEF 为正六边形， AOB=360 =60， 的长为 = 故答案为： 点评： 此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构 思巧妙，利用了正六边形的性质 7.（ 江西） 如图，点 A， B， C 在 O 上， CO 的延长线交 AB于点 D， A 50， B 30， 则 ADC 的度数为 解析： A=50, BOC=100, BOD=80, ADC= B+ BOD=30+ 80=110 8.（ 呼和浩特） 一个圆锥的侧面积为 8，母线长为 4，则这个圆锥的全面积为 _.12 9.（黔西南州） 如图 6， AB是 O的直径， BC是 O的弦，若 AOC=80，则 B= 40 10.（黔西南州） 已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 5，则圆锥的侧面积是 15 11.（黔西南州） 如图 8， AB是 O的直径， CD为 O的一条弦， CD AB于点 E，已知 CD=4， AE=1，则 O 的半径为 25第 10 题第 9题NMDBFEO OPABAC第 10题第 9题NMDBFEO OPABAC12 13 12.（ 青岛） 如图， 圆内接四边 形 ABCD 中 两组对边的延长线分别相交于点 E， F，且 A 55 ， E=30 ，则 F= 14.（东营） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 m 15（ 泸州） 用一个圆心角为 120， 半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 . 考点：圆锥的计算 . 分析：易得扇形的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径 解答：解：扇形 的弧长 = =4， 圆锥的底面半径为 42=2 故答案为： 2 点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长 16.（四川 自贡 ） 已知， AB 是 O的一条直径 ，延长 AB 至 C 点，使 AC 3BC ,CD 与 O相切于 D 点，若 CD 3 ,则劣弧 AD 的长为 . 考点： 圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等 . 分析： 本题 劣弧 AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧 AD 所对的 圆心角的度数 .在连接 OD后，根据切线的性质易知 ODC 90o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过 Rt OPC 获得解决 . 略解： 连接半径 OD.又 CD 与 O相切于 D 点 OD CD ODC 90o 第 15 题图 BADCBA O13题DCBA O13题13 16 题图B CA D AC 3BC AB 2OB OB BC 1OB OC2又 OB OD 1OD OC2在 Rt OPC c o s O D 1DOCO C 2 DOC 60o AOD 120o 在 Rt OPC 根据勾股定理可知： 2 2 2O D D C O C CD 3 2 22O D 3 2 O D 解得： OD 1 则劣弧 AD 的长为 1 2 0 O D 1 2 0 1 231 8 0 1 8 0 oooo. 故应填 2317（ 绍兴） 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心， AD 的长为半径画 弧，再以 AB 边的中点为圆心， AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 _2 _（结果保留 ） 三 解答题 1.（福建龙岩）如图，已知 AB是 O的直径， AB=4，点 C在线段 AB 的延长线上，点 D在 O上 ， 连接 CD，且 CD=OA， OC=22. 求证： CD是 O 的切线 . 证明：连接 OD，由题意可知 CD=OD=OA=21AB=2 OD2+CD2=OC2 14 OCD为直角三角形，则 OD CD 又 点 D在 O 上， CD是 O的切线 2.(广东 ) O 是 ABC 的外接圆， AB 是直径，过 BC 的中点 P 作 O 的直径 PG交弦 BC于点 D，连接 AG， CP， PB. (1) 如题 24 1 图；若 D是线段 OP的中点，求 BAC的度数； (2) 如题 24 2 图，在 DG上取一点 k，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC是平行四边形； (3) 如题 24 3 图；取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接PH，求证： PH AB. 【解析】 (1) AB为 O直径， BP PC ， PG BC，即 ODB=90， D为 OP的中点， OD= 1122OP OB， cos BOD= 12ODOB， BOD=60， AB为 O直径， ACB=90， ACB= ODB， AC PG， BAC= BOD=60； (2) 由（ 1）知， CD=BD， BDP= CDK， DK=DP， PDB CDK， CK=BP， OPB= CKD， AOG= BOP， AG=BP， AG=CK OP=OB， OPB= OBP， 又 G= OBP， AG CK， 四 边形 AGCK是平行四边形； 15 (3) CE=PE， CD=BD， DE PB，即 DH PB G= OPB， PB AG， DH AG， OAG= OHD， OA=OG， OAG= G， ODH= OHD， OD=OH， 又 ODB= HOP， OB=OP， OBD HOP， OHP= ODB=90， PH AB. 3.（ 广东梅州） 如图，直线 l经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3） （ 1）求直线 l的函数表达式； （ 2）若圆 M的半径为 2，圆心 M在 y轴上，当圆 M与直线 l相切时，求 点 M的坐标 yxO考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式 . 分析：（ 1）把点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）代入直线 l的解析式 y=kx+b，即可求出结果 （ 2）先画出示意图，在 Rt ABM中求出 sin BAM，然后在 Rt AMC 中，利用锐角三角函数的定义求出 AM，继而可得点 M的坐标 解答：解：（ 1） 直线 l经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， 设直线 l的解析式为： y=kx+b， 直线 l的解析式为： y= x+3； （ 2） 直线 l经过点 A（ 4， 0）， B（ 0， 3）， OA=4， OB=3， 16 AB=5， 如图所示，此时 M与此直线 l相切，切点为 C， 连接 MC，则 MC AB， 在 Rt ABM中， sin BAM= = ， 在 Rt AMC中， sin MAC= ， AM= = =4， 点 M的坐标为（ 0， 0） 此时 M与此直线 l相切，切点为 C， 连接 MC，则 MC AB， M C B= MCB=90 ， 在 M C B与 CMB 中， ， BM=BM=3， 点 M的坐标为（ 0， 6） 综上可得：当 M与此直线 l相切时点 M的坐标是（ 0， 0），（ 0， 6） 点评： 本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般 4.(广东梅州 ) 在 Rt ABC中， A=90， AC=AB=4， D， E分别是 AB， AC的中点若等腰 Rt ADE 绕点 A逆时针旋转，得到等腰 Rt AD1E1，设旋转角为 （ 00)，若点 P 在射线 OP 上，满足 OP28 OP=r2，则称点 P 是点 P 关于 O 的 “ 反演点 ” ，如图 2， O 的半径为 4，点B在 O上， BOA=60 ， OA=8，若点 A 、 B 分别是点 A， B关于 O的反演点，求 A B 的长 . 图 2图 1ABOP PO【答案】 解： O 的半径为 4，点 A 、 B 分别是点 A， B 关于 O 的反演点，点 B在 O上， OA=8， 224 , 4O A O A O B O B ， 即