高中数学-构成空间几何体的基本元素学案.docx

1.1.1构成空间几何体的基本元素1理解平面的抽象特征，并会表示平面2知道构成几何体的基本元素，并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系3了解简单几何体中点、线、面的位置关系1几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的_和_，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体2构成空间几何体的基本元素(1)长方体由_个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的_；相邻两个面的公共边，叫做长方体的_；棱和棱的公共点，叫做长方体的_(2)长方体有_个面，_条棱，_个顶点(3)_、_、_是构成几何体的基本元素点运动成线，如果把点看成元素，则直线和曲线可以看作是点的集合，平面与曲面也可以看作是点的集合，这样从集合的角度来看，线、面就统一成点构成的“集合”了；线运动成面，因此线面的关系就可以看作“集合”与“集合”的关系了【做一做1】正方体有_个面，_条棱，_个顶点，且它的棱长均_3空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和_之分，面有_和曲面(部分)之分平面是_的面，而曲面不是处处平直的(2)在立体几何中，平面是_的，通常画一个_来表示一个平面，并把它想象成_的平面一般用希腊字母，来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面、平面、平面ABCD或平面AC等(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是_；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹就是_(4)一条线运动的轨迹可以是一个_，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个_(5)直线平行移动，可以形成_固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成_立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的平面图形如三角形、正方形、梯形等是有大小之分的；而立体几何中所说的平面是无大小、厚薄之分的，它类似于以前学过的直线，它可以无限延展，是不可度量的【做一做21】下列说法中错误的是()A平面用一个希腊字母就可以表示B平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD一条直线和一个平面可能没有公共点【做一做22】关于平面下列说法正确的是()A平行四边形是一个平面B平面是有大小的C平面是无限延展的D长方体的一个面是平面【做一做23】飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为_4空间中线与面、面与面的位置关系及距离位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面_，则说直线和平面平行_面面如果两个平面_，则说这两个平面平行_垂直线面如果一条直线和一个平面内的_都垂直，则说直线与平面垂直_面面如果两个平面相交，并且_，则说这两个平面互相垂直_距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离【做一做31】下列说法中：将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；长方体中相对的面都互相平行；长方体两底面之间的棱相互平行且等长；点运动的轨迹是线，一条线运动的轨迹是面其中正确的命题个数为()A1 B2 C3 D4【做一做32】垂直于同一个平面的两个平面的位置关系是()A互相平行 B互相垂直C相交但不一定垂直 D可能相交，也可能平行1对平面的概念的理解剖析：(1)平面是绝对平的(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零(3)平面是无限延展的(4)平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要组成部分(5)有限的图形如：三角形、平行四边形等，用平行四边形表示平面，只是一种形式上的表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面(6)无限的平面平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面(7)平面可以看作是空间中点的集合，它当然是一个无限集(8)用希腊字母，等表示平面时，在不会引起混淆的情况下，“平面”二字可以省略不写；但用英文字母表示平面时，如平面AC，“平面”二字不可省略，甚至在一些复杂的图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD表示三角形所在的平面，一般将三个顶点的字母都写出来，如平面ABC、平面ABD等(9)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线立体几何则不然，凡是被平面遮住的线(简称暗线)都画成虚线或不画；凡是不被遮住的线(简称明线，无论是题中原有的还是后引的辅助线)都画成实线在立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面，如图(1)，但是应注意：所画的平行四边形只是平面的一部分，但是表示整个平面需要时，可以向四周延伸如同画直线一样，画一条线段来表示即可，需要时，可将线段向两方延伸“通常”二字的意思是：有时根据需要，我们也可画其他平面图形表示平面例如用三角形表示，如图(2)；用多边形表示，如图(3)；用椭圆表示，如图(4)2“点动成线、线动成面、面动成体”的含义剖析：点、线、面是构成几何体的基本元素，点是最小的元素，它没有大小，是构成线的基本元素；而面可以看成由许多线组成，由于直线是无限延伸的，没有长短，没有粗细之分，所以它构成的面就是无限延展的，且一个面都会由无数条直线构成几何体是我们生活中接触到的物体的抽象概括，它不但有大小，也有固定的形状，每个面也具有一定的形状和大小，因此几何体的每个面都是平面的一部分在实际中，我们从运动变化的观点来看这些关系就形成了“点动成线、线动成面、面动成体”的意识(1)点动成线：自然现象中流星划过夜空，给我们一种“点动成线”的视觉感受几何中，可以把线看成是点运动的轨迹如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一部分(2)线动成面：直线平行移动，可以形成平面或曲面；直线绕定点转动，可以形成锥面(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可形成一个几何体如长方体，我们可看作是水平放置的一个矩形在铅垂线方向上运动一段距离形成的几何体题型一 平面的概念【例1】下列判断正确的是_(1)平面是无限延展的；(2)一个平面长3 cm，宽4 cm；(3)两个平面重叠在一起，比一个平面厚；(4)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内反思：平面是立体几何中一个不加定义的概念，一定要与平面图形区别开来，注意平面是无大小、无厚度的题型二 几何体的形成【例2】(2011福建福州高一期末)图甲所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是()反思：如果直线与旋转轴平行，那么形成的旋转面是圆柱面；如果直线与旋转轴斜交，那么形成的旋转面是圆锥面；如果一个圆与旋转轴在同一平面内且不相交，那么形成的旋转面是环面题型三 几何体中基本元素的位置关系【例3】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？分析：仔细观察图形，且根据线与面，面与面平行和垂直的定义进行判断反思：本题实质是考查直观与抽象的能力解决这类问题的关键是先识别好图形，再结合有关概念和定义进行判断，这就需要大家平时注重对生活中常见物体的观察题型四 平面图形与空间几何体【例4】能用12根火柴组成5个正方形吗？能组成6个正方形吗？分析：若将12根火柴组成5个正方形，放在同一平面内可以做到，但在同一平面内组成6个正方形是不可能的，故可以结合一些几何体找原型反思：正方体和长方体是生活中最常见的两种几何体，通过对它们的认识可以加深对几何体概念的理解多观察它们的特点，学会分析一般几何体的特点，这就要求我们在生活中多留心一些实物，加深对感官世界的认识题型五 易错辨析【例5】能正确表示点A在直线l上且直线l在平面内的是()错解：B错因分析：只清楚直线是无限延伸的，而忽视了平面也是无限延展的，在平面内的直线一定要画在平面内部反思：点、线、面这三个原始概念各自具有三大特征：(1)点：最基本元素；只有位置；没有大小(2)直线：没有粗细；绝对的直；向两方无限延伸(3)平面：没有厚度；绝对的平；向周围无限延展1已知下列四个结论：铺得很平的一张白纸是一个平面；平面是矩形或平行四边形的形状；一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是()A0 B1 C2 D32在正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有()A3条 B4条 C6条 D8条3如图，平面，可将空间分成()A5部分 B6部分C7部分 D8部分4下列说法：长方体是由六个平面围成的几何体；长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形ABCD所形成的几何体；长方体一个面上任一点到对面的距离相等其中正确命题的序号是_5在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系答案：基础知识梳理1形状大小2(1)6面棱顶点(2)6128(3)点线面【做一做1】6128相等3(1)曲线(段)平面(部分)处处平直(2)无限延展平行四边形无限延展(3)一条直线或线段一条曲线或曲线的一段(4)面几何体(5)平面或曲面锥面【做一做21】C三角形ABC所在的平面可表示为平面ABC.【做一做22】C【做一做23】点动成线4没有公共点AB没有公共点任意一条直线l一个平面通过另一个平面的一条垂线【做一做31】C不正确，当矩形水平放置时，沿竖直方向平移时，才可得到一个长方体，当不是水平放置时，沿竖直方向平移不能得到长方体；正确，故选C.【做一做32】D通过观察正方体可知，垂直于同一个平面的两个平面可能相交(包括垂直相交)，也可能平行典型例题领悟【例1】(1)(4)利用平面所具有的特征进行判断(1)(4)正确，(2)(3)不正确【例2】C由图甲所表示的几何体分析知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成再根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.【例3】解：(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC.(2)与直线B1C1垂直的平面有：平面AB1，平面CD1.(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1.(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面CD1，平面AC.【例4】解：能用12根火柴组成5个正方形，如图(1)所示，包括中间4个小正方形和外面一个大正方形；联想正方体有12条棱，6个面都是正方形，故用12根火柴组成6个正方形的情况如图(2)所示【例5】C正解：选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面相交于点A；选项B中的直线l伸到四边形的外面去了，所以不能表示直线在平面内，故选C.随堂练习巩固1A在立体几何中，平面是无限延展的，所以