高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式例题与探究.docx

3.1 和角公式典题精讲例1 计算：.思路分析:考查两角和与差的三角函数.10、20角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30为特殊角，所以把10等价代换成30-20后就可以用两角差的公式化简.解:=.绿色通道:本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：(1)将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；(2)化为正负相消的项，消项，求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分求值；(4)利用诱导公式化任意角的三角函数为在0，内的三角函数；(5)特别注意诱导公式的应用；(6)化切函数为弦函数；(7)善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理13)cos43cos77+sin43cos167的值为_.思路解析:原式=cos43cos77+sin43cos(90+77)=cos43cos77-sin43sin77=cos(43+77)=cos120=-.答案:-变式训练2 求sincos-sinsin的值.思路分析:观察分析这些角的联系，会发现=-，即与是互余的两角，因此可用诱导公式将sin9变为cos,进而用和差角的正余弦公式求解.解:sincos-sinsin=sincos-sin(-)sinsincos-cossin=sin(-)=sin=.例2(2006重庆高考卷，理13)已知、(,),sin(+)=-,sin(-)=,则cos(+)=_.思路解析:考查三角函数求值以及角的变换.利用+=(+)-(-)来求值.、(,),(+)(,2).cos(+)=1-sin2(+)=.又(-)(,)，cos(-)=-.cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=(-)+(-)=-.答案:-绿色通道:本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在于三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：=(+)-，2=(+)+(-),+2=(+)+等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱:求解时如果将sin(+)和sin(-)展开，通过解方程组求sin和cos，那么运算量会很大，会因解方程组而陷入困境.变式训练1 已知cos=,cos(+)=-,且、(0,),求cos的值.思路分析:观察得=(+)-，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果.解:、(0，)，0+.cos=，cos(+)=-，sin=1-cos2=，sin(+)= =-=.cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-+=.cos=.变式训练2 已知sin+sin=，cos+cos=，求cos(-)的值.思路分析:由于cos(-)=coscos+sinsin，欲求cos(-)的值，只需要求出coscos+sinsin的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方再相加,即得coscos+sinsin的结果.解:(sin+sin)2=,(cos+cos)2=,sin2+2sinsin+sin2=，cos2+2coscos+cos2=.+得2+2(coscos+sinsin)=1，2+2cos(-)=1.cos(-)=-.例3 已知锐角、满足sin=，cos=，求+.思路分析:本题是考查两角和与差余弦公式的应用,及已知三角函数值求角的问题.要求+的值，需先求+的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解:、是锐角，cos=,sin=.cos(+)=coscos-sinsin=-=. 由于0，0，得到0+,+=.绿色通道:本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数；若角的范围是(0,)，有时选正弦函数，有时选余弦函数；若角的范围是(-,)，选正弦函数比余弦函数好;若角的范围是(0,)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱:本题若是改求sin(+)的值，则会得到+有两个值，这样还要将+的范围(0,)再缩小才行，问题就变得复杂了.变式训练1 已知sin=，sin=,且、均为钝角，求+的值.思路分析:先求cos(+)的值，再确定+的值.解:和均为钝角，cos=-=-,cos=-=-.cos(+)=coscos-sinsin=-(-)-=. 由和均为钝角得+2，+=.变式训练2 已知tan(-)=，tan=-，且、(0,)，求2-的值.思路分析:转化为2-的正切值，其中注意角的变换2-=(-)+.解:tan(-)=，=.tan=.0tantan=1. 又(0,)，(0,).2(0,).(0,)，tan=-，(,).-2-0.tan(2-)=tan(-)+=10，2-=-.例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin(x+)-2cosx,x,.(1)若sinx=，求函数f(x)的值；(2)求函数f(x)的值域.思路分析:本题主要考查三角函数的性质和三角恒等变换.先将f(x)的解析式恒等变形，再解决其他问题.解:(1)sinx=,x,cosx=-,f(x)=2(sinx+cosx)-2cosx=sinx-cosx.当sinx=时，函数f(x)=-(-)=+.(2)f(x)=2sin(x+)-2cosx=sinx-cosx=2sin(x-).x，x-56.sin(x-)1.函数f(x)的值域为1,2.绿色通道:讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(x+)+b的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广州二模，11)函数y=sin2x-cos2x的最大值是_.思路解析:化为y=Asin(x+)+b的形式求最值.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-)，则最大值为2.答案:2变式训练2 已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，(1)若xR，求函数的最大值和最小值；(2)若x0，求函数的最大值和最小值.思路分析:将sinx+cosx平方，可得1+2sinxcosx，于是sinx+cosx和2sinxcosx可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题.解:(1)设t=sinx+cosx=sin(x+).xR，-t. 则t2=1+2sinxcosx，2sinxcosx=t2-1.y=t2+t+1=(t+)2+，-t.当t=时，y取最大值3+； 当t=-时，y取最小值.ymax=3+，ymin=.(2)若x0，2，则t1，.y3，3+，即ymax=3+,ymin=3.问题探究问题1(1)试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC的值:在等边三角形ABC中；A=210,B=120,C=30；A=-150,B=30,C=-60.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.(3)利用(2)的结论计算的值.导思:从A+B+C的结果上归纳并猜想出结论.探究:(1)由题意得A=B=C=60.tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60+tan60+tan60-tan60tan60tan60=+-=0；tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan210+tan120+tan30-tan210tan120tan30=+(-)+-(-)=0；tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150)+tan30+tan(-60)-tan(-150)tan30tan(-60)=+(-)-(-)=0.(2)在(1)中A+B+C=180，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在(1)中A+B+C=360，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在(1)中A+B+C=-180，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 猜想：当A+B+C=k180(kZ),A,B,Ck180+90时， 有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtan