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2.1 指数函数问题探究 问题1指数函数的走势是由什么来决定的？ 探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结.应该明确是底数来决定指数函数的走势:(1)当a1时,函数图象在第一象限的值随a值的增大而增大,图象越靠近y轴.如图2-1-1所示.(2)当0a0且a1),有人总结出其底数a越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？ 探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象,根据图象能看出该结论是正确的.典题精讲 例1:计算下列各式:(1);(2)(2)0+2-2(2-(0.01)0.5.思路分析:第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.(1)解法一:=解法二: =(2)解:(2)0+2-2(2-(0.01)0.5=1+(-(=1+-.例2:指数函数f(x)=mx;g(x)=nx满足不等式1nm0,则它们的图象是( )图2-1-3思路解析: 此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.解法一:由0mn1可知应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,进而再判断与n和m的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,对应的函数值分别为m和n,由mn可知应选C.图2-1-4解法二:只要按照题目条件的要求来取m和n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是正确的选项.取m=,n=的草图(如图2-1-4所示),则见m在左上方,n对应的图象在右下方,对应的选项是C.答案:C例3:比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1,0.8-0.2.思路分析:此题考查指数函数的单调性.对y=ax,当0a1时,函数为增函数.结合相应图象可顺利解题.解:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,图象如图2-1-6,当x=2.5和3时的函数值.因为1.71,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.53,所以1.72.51.73. 图2-1-6 图2-1-7(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,图象如图
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