数理金融学题库11：套利资产组合APT.doc

套利资产组合APT1.一证券分析师构件的三只股票的投资方案不同情况下的收益率（%）股票价格衰退平均繁荣A10-152030B152510-10C501215121 使用这三只股票构建一套利资产组合2 当恢复平衡时，这些股票价格可能会如何变化？第一步，将各种情况下的收益率转化为每股收益情况股票价格衰退平均繁荣A1010(1-0.15)=8.510(1-0.2)=1210(1+0.3)=13B1515(1+0.25)=18.7515(1+0.1)=16.515(1-0.1)=13.5C5050(1+0.12)=5650(1+0.15)=57.550(1+0.12)=56要确认一套利机会经常涉及零投资组合。该资产组合必须在所有情况下都表现为非负的收入。卖空两股A和两股B 的收入必须足够用来买入一股C。-2*10+（-2）*15+50=0所有情况下的零投资组合收入为：情况股票价格股数投资衰退平均繁荣A10-2-20-17-24-26B15-2-30-37.5-33-27C501505657.5561.50.53该资产组合满足套利资产组合，因为它不仅为零投资组合，而且所有情况下都有正的收益。3 如果A和B的价格由于卖空而下降，而C的价格由于买进的压力而上升，则A+B的收益率将会上升而C则会下降。求出一个价格变化以保证消除上面的套利机会首先，要注意，随着C的价格变化，任何投资组合的比例也会相应变化。其次，持有C多头和A+B空头的最坏情况是收益情况（平均）栏。持有等量的A和B的卖空头寸，解出平均栏时的零收益情况。用X表示A和B的卖空头寸的数量，当其收益正好等于一股C时的多头头寸。12X+16.5X=57.5 X=-2.0175这表明我们每持有一股C，就要卖空2.0175股A和B根据A股和B股的持有数，求C的价格为多少时使资产组合投资收益为零10X+15X+PC=0 PC=50.4375元2.假设3个月期的即期年利率为5.25%，表示当前的一元钱，三个月后的利息为5.25%*3/12元。再假设12个月期的即期年利率为5.75%，试问3个月后执行的九个月期的远期利率是多少？（5.84%）若九个月期市场远期利率为6%，是否会发生套利？如何套利？（1）如果市场的远期利率为5.8%，小于5.84%，那么可构造如下的无风险套利组合： 以5.25%的利率借入3个月后到期的贷款1元；（2）把借入的1元投资于无风险资产12个月，利率为5.75%；再以市场上的5.8%远期利率水平买进一个3个月后开始的9月期远期贷款，即要求在3个月获得本金为1*（1+5.25%*3/12）的9个月期贷款。同样，我们分析这个组合的现金流情况：（1） 在期初交易日，获得的贷款1元又投资于无风险资产，而卖出远期贷款还不发生现金流，所以期初的现金流为0。（2） 在3个月后，1元钱的贷款到期，需要支付本加息一共：1*（1+5.25%*3/12）；而此时，当初签订的远期贷款开始生效，可以提供的贷款本金刚好能用于支付：1*（1+5.25%*3/12）。所以，净现金流仍然为0。（3） 在12个月后，投资12个月的无风险资产获得回报，本加息为：1*（1+5.75%*12/12）；而远期贷款到期，需要支付的本加息一共为：1*（1+5.75%*3/12）*（1+5.8%*9/12）。所以，净现金流为：1*（1+5.75%*12/12）1*（1+5.25%*3/12）*（1+5.8%*9/12）=0.03%同样，这个组合可不承担任何风险地获利0.03%。5 A公司和B公司如果各自要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率为：公司固定利率浮动利率A公司B公司12.0%13.4%LIBOR+0.1%LIBOR+0.6%A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，要求互换对双方具有同样的吸引力（平分互换利益）。答案：无6A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：固定利率浮动利率A公司12.0LIBOR+0.1%B公司13.4LIBOR+0.6%A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。答案： A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%0.5%=0.9%。因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。 12.3% 12.4% 12% A 金融中介 B LIBOR+0.6% LIBOR LIBOR1、考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。资产组合E（r）（%）贝塔A121.2F60E80.6请问，市场是否存在套利机会？如果存在，则具体方案如何？答案： 资产组合F的预期收益率等于无风险利率，因为他的贝塔为0。资产组合A的风险溢价与贝塔的比率为：（12-6）/1.2=5%；而资产组合E的比率只有（8-6）/0