第三章 导数及其应用(3.1.1).ppt

第三章导数及其应用 微积分主要与四类问题的处理相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 3 1 1变化率问题 问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 我们来分析一下 气球的体积v 单位 l 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积v的函数 那么 当v从0增加到1时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当v从1增加到2时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 显然0 62 0 16 思考 当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 请计算 请计算 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 平均变化率定义 若设 x x2 x1 f f x2 f x1 则平均变化率为 这里 x看作是对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2同样 f y f x2 f x1 上述问题中的变化率可用式子表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直线ab的斜率 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点a 1 2 及临近一点b 1 x 2 y 则 y x a3b3 x x 2c3 x 2d3 x d 2 求y x2在x x0附近的平均速度 2x0 x 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 练习 过曲线y f x x3上两点p 1 1 和q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1时割线的斜率 k 3 3 x x 2 3 3 0 1 0 1 2 3 31 作业 习题3 1第一题 3 1 2导数的概念 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 如何求 比如 t 2时的 瞬时速度 通过列表看出平均速度的变化趋势 当 t趋近于0时 平均速度有什么变化趋势 瞬时速度 我们用表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋于确定值 13 1 那么 运动员在某一时刻t0的瞬时速度 导数的定义 从函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 应用 例1物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 即物体在时刻t0 2 s 的瞬时速度等于20 m s 当时间间隔 t逐渐变小时 平均速度就越接近t0 2 s 时的瞬时速度v 20 m s 应用 例2将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原由进行冷却和加热 如果第x h 时 原由的温度 单位 0c 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2 h 和第6 h 时 原由温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 关键是求出 它说明在第2 h 附近 原油温度大约以30c h的速度下降 在第6 h 附近 原油温度大约以50c h的速度上升 应用 例3 质量为 kg的物体 按照s t 3t2 t 4的规律做直线运动 求运动开始后 s时物体的瞬时速度 求运动开始后 s时物体的动能 练习 求函数y 3x2在x 1处的导数 分析 先求 f y f x f 6 x x 2再求再求 小结 1求物体运动的瞬时速度 1 求位移增量 s s t