数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用.docx

第2课时教学目标知识目标1会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题；2体会数形结合和数学模型思想过程与方法1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.【重点】用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.【难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.课前准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P7677.教 程一、 新课导入导入1。【复习提问】问题1如图，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 B，O 的半径为 1 cm，PB=1 cm，则AOB= . 二、新知构建(教材例5)如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?思路一教师引导分析:(1)要求BP的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形)(2)在RtBPC中,要求BP的长,已知什么?需要求什么?(3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中?(4)在RtAPC中,根据已知条件可以求出什么?(5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段PC的长)(6)根据以上分析,你能写出解答过程吗?【师生活动】学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结.解:在RtAPC中,PC=PAcos (90-65)=80cos 2572.505.在RtBPC中,B=34,sin B=PCPB,PB=PCsinB72.505sin 3472.5050.559130(n mile).因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处时,它距离灯塔P大约130 n mile.思路二【学生活动】(1)根据题意,自己画出示意图.(2)分析题意,写出解答过程.(3)小组内成员交流答案.【教师活动】(1)巡视过程中及时辅导,帮助有困难的学生,引导学生从不同角度思考问题.(2)展示学生的成果,让学生进行点评.(3)规范解题格式,强调解决实际问题的关键.（2）一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明从 B 处观测到 A 处的轮船是_ 方向。（3）海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【课件展示】同思路一 想法：“通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.活动一:认识有关概念:【课件展示】坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.即i=hl,常写成i=1m的形式.坡角:把坡面与水平面的夹角叫做坡角.【思考】坡度i与坡角之间具有什么关系?(i=hl=tan )【师生活动】学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.活动二:解决课前导入问题:如图所示,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6 m,坝高23 m,斜坡AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度i=12.5,求斜坡AB的坡角(精确到1),坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m).解析(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的值,从而求出AD的长.(4)在RtABE中,由勾股定理或三角函数定义可得AB的长.【师生活动】教师引导学生分析问题,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师进行点评.【课件展示】解:在RtABE和RtCDF中,BEAE=13,CFFD=12.5,AE=3BE=323=69(m),FD=2.5CF=2.523=57.5(m).AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).斜坡AB的坡度i=tan =130.3333,1826.在RtABE中,AB=AE2+BE2=692+23272.7(m).答:斜坡AB的坡角约为1826,坝底宽AD为132.5 m,斜坡AB的长约为72.7 m. 想法：通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力.三、共同归纳【师生活动】学生小组讨论,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题过程:【课件展示】(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程,培养学生归纳总结能力,提高学生的数学思维.拓展：(1)解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比,即i=hl,一般写成i=1m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).(3)坡度i与坡角之间的关系为i=tan .(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡.三、小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.四、课堂检测1.测得某坡面垂直高度为2 m,水平宽度为4 m,则坡度为()A.152B.15C.21D.12解析:由坡度等于坡面垂直高度与水平宽度的比得坡度为24=12.故选D.2.某人上坡沿直线走了50 m,他升高了252 m,则此坡的坡度为()A.30B.45C.11D.12解析:如图所示,AC=502-(252)2=252(m),由坡度公式得i=hl=252252=11.故选C.3.某时刻海上点P处有一客轮,测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行23小时到达B处,那么tanABP为.解析:灯塔A位于客轮P的北偏东30方向,且相距20海里,PA=20海里,客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行23小时到达B处,APB=90,BP=6023=40(海里),tanABP=APBP=2040=12.故填12.4.如图所示,市政府准备修建一座高AB=6 m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的余弦值为45,则坡面AC的长度为m.解析:在RtABC中,cosACB=BCAC=45,设BC=4x,AC=5x,则AB=3x,则sinACB=ABAC=35,又AB=6 m,AC=10 m.故填10.5.如图所示,甲船在港口P的北偏西60方向,距港口80海里的A处,沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P.乙船从港口P出发,沿北偏东45方向匀速驶离港口P,现两船同时出发,2小时后乙船在甲船的正东方向.求乙船的航行速度.(精确到0.1海里/时,参考数据:21.41)解:如图所示,设乙船的速度为x海里/时,2小时后甲船在点B处,乙船在点C处,作PQBC于Q,则BP=80-212=56,PC=2x.在RtPQB中,BPQ=60,PQ=BPcos 60=5612=28.在RtPQC中,QPC=45,PQ=PCcos 45=2x,2x=28,x=14219.7.答:乙船的航行速度约为19.7海里/时.板书第2课时1.探究一2.探究二3.共同归纳作业布置一、教材作业【必做题】教材第78页习题28.2第5,7题.【选做题】教材第79页习题28.2第9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,某商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为,则tan 等于()A.34B.43C.35D.452.如图所示,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()A.250 mB.2503 mC.50033 mD.2502 m3.一段公路的坡度为13,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是()A.30米B.10米C.3010米D.1010米4.一只船向正东方向航行,上午7时在灯塔A的正北方向的C处,上午9时到达灯塔A的北偏东60方向的B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的长是()A.1033千米B.2033千米C.4033千米D.8033千米5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=12.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为米.6.一只船向正东方向航行,上午9点到达一座