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圆的标准方程 楚水实验学校高一数学备课组 一 问题情境 1 在平面内点a 3 4 到原点0的距离为多少 在平面内点b 3 4 到原点0的距离为多少 a 2 平面内还有点到原点距离为5的吗 有多少个 o 什么样的点集叫做圆 平面上到定点距离等于定长的点的集合 轨迹 是圆 定点就是圆心 定长就是半径 二 建立圆的标准方程 求圆心 a b 半径是r的圆的方程 如图 设m x y 是圆上任意一点 根据定义 点 到圆心 的距离等于r 所以圆 就是集合 r 式两边平方 得 方程 就是圆心为c a b 半径为r的圆的方程 我们把它叫做圆的标准方程 特别的 如果圆心在原点 这时 那么圆的方程是 圆的标准方程 特点 1 是关于x y的二元二次方程 无xy项 2 明确给出了圆心坐标和半径 3 确定圆的方程必须具备三个独立条件 即a b r 4 若圆心在坐标原点 则圆方程为x2 y2 r2 三 圆的标准方程的应用 例1写出下列各圆的方程 圆心在原点 半径是 圆心在点 半径是 经过点 圆心在点 答 点评 中 可先用两点距离公式求圆的半径 或设 用待定系数法求解 例 说出下列圆的圆心坐标和半径长 解 圆与直线相切 圆的方程为 圆心到的距离 例 求以为圆心 并且和直线相切的圆的方程 例4已知圆o的方程为 判断下面的点在圆内 圆上 还是圆外 解 点在圆上 点在圆内 点在圆外 的内部 求实数a的取值范围 1 p107 7 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4 练习 2 求满足下列条件的各圆c的方程 1 和直线4x 3y 5 0相切 圆心在直线x y 1 0上 半径为4 2 经过两点a 1 0 b 3 2 圆心在直线x 2y 0上 3 p102 3 已知圆过点p 4 3 圆心在直线2x y 1 0上 且半径为5 求这个圆的方程 例5已知隧道的截面是半径为4m的半圆 车辆只能在道路中心线一侧行驶 一辆宽为2 7m 高为3m的货车能不能驶入这个隧道 解 如图 设切线的斜率 半径om的斜率为 因为圆的切线垂直于过切点的半径 于是 经过点m的切线方程是 整理 得 当点 在坐标轴上时 可以验证上面的方程同样适用 思考 是否可以用平面几何的知识求此切线方程 例6已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 小结 在上时 过的切线为 在上时 过圆的切线方程为 2 求圆标准方程即求圆心坐标和半径 题型有 1 给出半径和圆心 2 给出圆心和圆上一点 3 给出圆心和圆的一条切线方程 4 给出圆的直径的端点坐标 5 给出圆的两条切线和圆心所在直线方程 四 课堂小结 1 圆的标准方程为 强调学生的自主探索 某圆拱梁的跨度ab是36m 拱高op是6m 在建造时 每隔3m需用一个支柱支撑 求支柱a2p
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