统计2.4线性回归方程（1）（2）.ppt

线性回归方程 在学校里 老师对学生经常这样说 如果你的数学成绩好 那么你的物理学习就不会有什么大的问题 确实 凭我们的学习经验可知 学生的物理成绩和数学成绩之间存在一种相关关系 当然 除此以外 还存在其它影响物理成绩的因素 例如 是否喜欢物理 用在物理学习上的时间等等 当我们主要考虑数学成绩对物理成绩影响时 就是要考虑两者之间的相关关系 我们日常生活中存在许多相关关系的问题 1 商品销售收入与广告支出经费之间的关系 2 粮食产量与施肥量之间的关系 3 人体脂肪和年龄之间的关系 在现实实际问题中 变量之间的常见关系有如下两类1 一类确定的函数关系 变量之间可用函数表示 2 一类是相关关系 变量之间有一定的关系 但不能完全用函数来表示 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系 随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表 如果某天的气温是18 那么这一天的热茶销量一定是24杯吗 当气温是 5 时 你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗 作散点图 散点散布在一条直线附近 故可以用一个线性函数来拟合数据 选择怎样的线性函数 直线 选择能反映直线变化的两个点连线 取一条直线 使位于直线两侧的点数基本相同 多取几组点确定几条直线 分别计算其斜率和截距的平均值 作为所求直线的斜率和截距 上面这些方法虽然都有一定道理 但总让人感到可靠性不强 实际上 我们希望从整体上看 应该使得该直线与散点图中的点最接近 如何衡量直线与散点图中的点的接近程度 考虑所有数据点到直线的距离的平方和 考虑数据点和直线上和其横坐标相同的点距离的平方和 用类似于估计总体平均数的思想 化斜为直 距离计算不方便 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系 随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表 如果某天的气温是18 那么这一天的热茶销量一定是24杯吗 当气温是 5 时 你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗 拟合函数 q a b 26b a 20 2 1286b2 6a2 140ab 3820b 460a 1072 18b a 24 2 13b a 34 2 10b a 38 2 4b a 50 2 b a 64 2 a b 是直线与各散点在垂直方向 纵轴方向 上的距离的平方和 可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度 所以 设法取a b的值 使q a b 达到最小值 这种方法叫做最小平方法 或最小二乘法 已知 x1 y1 xn yn 用线性函数拟合 如何确定a b 请归纳最小二乘法的基本算法步骤 s1求离差的平方和q a b 并展开 s2将q a b 整理为关于b的二次函数 q a b mb2 nb k s3当b 时 q a b 取得最小值 s4将q a b 整理为关于a的二次函数 q a b m a2 n a k s5当a 时 q a b 取得最小值 s6联立关于a b的二元一次方程组 解a b s1求离差的平方和q a b 并展开 s2将q a b 整理为关于b的二次函数 s3当b 时 q a b 取得最小值 s4将q a b 整理为关于a的二次函数 s5当a 时 q a b 取得最小值 s6联立关于a b的二元一次方程组 解a b 即 通过求解取得最小值时的a b的值 即其中如此得到的方程叫回归直线方程 上述求回归直线的方法 是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小 这一方法叫做最小二乘法 a b的值使q取得最小值时 就称为拟合这n对数据的线性回归方程 将该方程所表示的直线称为回归直线 例求三点 3 10 7 20 11 24 的线性回归方程 解 1 作出散点图 很明显 用多项式拟合比用线性拟合好 图中的r2就是用来描述这一特征的 课堂小