选修2—2第二章 推理与证明.ppt

选修2 2第二章推理与证明 特级教师省新课程教学指导组成员正高级教师硕士生导师许钦彪 一教育价值 推理与证明 是数学的基本思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 有助于学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系 有助于学生理解数学的本质 形式对数学较为完整的认识 有助于学生认识数学的科学价值 应用价值和文化价值 有助于发展学生的数学思维能力 提高学生的数学素养 有助于发展学生的创新意识和创新能力 因而 它是选修1 2与选修2 2中共有的内容 以往的高中数学课程中 忽视了合情推理 新课标中增加了合情推理 单独提出了 推理与证明 这一章节 应予充分把握 以期达到培养学生数学素质的要求 二教学安排2 1 1合情推理1课时 2 1 1演绎推理2课时 2 2 1综合法和分析法2课时 2 2 2反证法1课时 2 3数学归纳法1课时 小结1课时 三 教学建议2 1合情推理只有1课时 教学时要很好组织 首先要说明合情推理具有猜测和发现新结论和提供解决问题的思路和方法的作用 也就是合情猜测 这里的关键是合情 而不是乱猜 其二是如何做到合情 本节介绍数学中二种基本的合情推理 1 归纳推理 利用教材p78的引入问题 哥德巴赫猜想作为引入即可 说明归纳推理的本质是从个别事实中概括出一般结论的推理模式 换句话说 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 再用p79例1进一步体会 教师要说明的是 归纳推理的方法 步骤 要合理 比较多的个例是对的 归纳是依据若干的 没有穷尽的结论推断尚属未知的结论 这是一种合理的猜测 这种由个别到一般的归纳虽然合情 但如果没有证明 其结论也是不一定正确的 可用p86的费马猜想说明 这就叫不完全归纳法 其得到的结论虽不可靠 但应用方便并具有发现的功能 如果再能给予证明就是完全归纳法 形象地说是 先猜后证 的思维方式 如数学归纳法 2 类比推理 利用教材p80火星和地球 圆和球的类比性质 介绍类比推理的本质是在两类不同的对象之间进行对比 找出若干相同点之后 推测在其他方面也可能存在相同点的一种推理模式 换句话说类比推理是由特殊到特殊的推理 再用p82例2 实数的加法和乘法的运算性质 例3 平面三角形和空间四面体的类比 让学生练习体会类比推理 教师要说明的是 类比推理的方法 步骤 类比的两个对象相应的比什么要清晰 如平面三角形和空间四面体的点对线 线对面 类比是由一种事物的已知属性推测另一种事物的属性 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 但它却具有发现的功能 3 说明 课时安排比较紧凑 所以在教学时要通过已知的数学实例和生活中明确的易于理解的实例来了解合情推理和演绎推理 重要的是体会其本质 意义和思维的重要性 充分利用教材中的例题 不必再补充过难的问题 避免过于复杂和不必要的扩展加深 程度较好的学生可以尝试自学再教师归纳 教材p84例4是较难的问题 如第1课时来不及可放至下一个课时或在讲证明方法时作为例题介绍 2 1 2演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命的一种推理模式 教学时主要是通过已学过的数学实例和生活中的实例 体会演绎推理的作用和重要性 掌握演绎推理的基本方法和步骤 培养严谨和科学的数学思维 并运用它们进行一些简单的推理讲练 应结合教材提供的实例组织教学 补充的实例也宜是学过的和熟悉的 不必过多的加深 利用教材p87的6个实例来引入演绎推理的实质 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 可让学生归纳其推理模式 三段论 大前提 小前提 结论 演绎推理的书写很重要 要写清楚其三个判断 第一个是正确的前提 即m是p 第二个是要判断的命题s是大前提m的一种情况 小前提 即s是m 第三个是结论 即命题s成立 即s也是p 用集合的观点解释就是 若集合m的所有元素都有性质p 而s是m的子集 则s中的元素也都具有性质p 可先由p87的问题及例5 例6让学生归纳三段论 体会大前提 小结题 结论 然后举例让学生练习书写演绎推理的三段论模式 最后要说明演绎推理是一种必然性推理 只要大前提是正确的 小前提在大前提中 则小前提的结论必定是正确的 引起错误的主要有二种情况 是大前提错误可能导致错误的的结论 是小前提不在大前提中 可举二个反例说明 关于合情推理和演绎推理的联系和差异按照教材p91的内容即可 关于p91的阅读与思考 平面与空间中的余弦定理 可作为较高要求的类比的具体例子介绍 并给予证明 2 2 1直接证明和间接证明要明确数学不同于其它学科 数学结论的正确性必须由数学证明来保证 而不能用实验 实践来证明 数学证明是引用数学一些真实的结论来推理某一命题正确的一种思维 本节介绍二种基本证明方法 直接证明和间接证明 教学应以具体问题的讲练让学生掌握方法 体会书写 培养思维 学以致用为主 直接证明有多种方法 最基本和常用的是 2 2 1综合法和分析法教学时可各安排1课时 关于综合法 可先由p95的引入问题归纳什么叫综合法 由已知出发推理得要证的结论 实质是 由因导果 顺推 要明确条件和结论 通过例1介绍推理书写的严谨性和步骤 可回顾已学的一些结论的证法 体会综合法的常用性和重要性 适当补充例子让学生练习体会 关于分析法 可先由p97的引入问题介绍什么叫分析法 从结论出发逐步寻求需要的充分条件 直到需要的条件已知 实质是 执果索因 逆推 对学生来说这是一种逆向思维 要讲清 这种逆向的分析是常用的思维 但分析法的书写格式是非常重要的 要证只需证明 只需是的充分条件 但必须真正能由 不断比较直至需要的条件成立即可 教材的例2 例3是较好的例子 可适当补充例题让学生练习体会 重在掌握实质 步骤和书写格式 说明分析法和综合法是密切联系的 分析法可改写成综合法 2 2 2反证法在以前的学习中也有所了解 本节的教学主要是明确反证法是间接证明的一种方法 体会它的思维方式 实质和书写的步骤 说明 其适用性 假设的准确性 矛盾的显然性 应以讲练 应用为主 2 2 3数学归纳法的教学可从p105的问题着手 先由归纳 合情推理 得出结论 如何证明对所有自然数都成立 从而引入由成立到成立的一种推理思维 归纳出数学归纳法的证明方法 要强调的是 实质 步骤 特别要说明 两步缺一不可 可举反例说明 书写格式 的确定 到的推理 适用性 对自然数的命题 必须用到假设成立的条件 的情况化为的情况来解决 关键是抓住一个 增量 教学时应以讲练 应用为主 要求掌握方法并能应用 除书本例题外 可根据学生情况和已学的内容知识适当补充不等式 整除和几何问题 本章安排了1课时的小节 可作为复习巩固和应用的机动课时 第三章数系的扩充和复数的概念本章的重点是在具体的情境中了解数系的扩充过程 理解复数的基本概念以及复数相等的条件 掌握复数的代数形式及其几何意义 能进行复数代数形式的四则运算 了解代数形式的加减运算的几何意义 教学时可由教材p114关于无实根的问题探讨需要引入新的数 即数系的扩充是实际需求与数学内部矛盾的需要 引入复数概念及代数形式 理解复数相等及作用 理解复数的分类 强调不全为零的两个复数不能比较大小 复数的几何意义的实质是将复数与复平面内的点和向量统一起来 可补充介绍复数的模及意义 理解复数代数式的加减法则及满足结合律 交换律 乘法对加法的分配律 乘法类似于二个多项式