高级数学分科会课件张世永.ppt

数学尖子生如何过手 成都七中张世永罗林丹 在新课学习阶段 数学尖子生对数学概念 定理和公式的理解较为深刻 能够悟到课本的例 习题的一些功能 自学能力强 思维敏捷 能够发现问题 提出问题 并能独立地解决一些问题 具有一定的批判意识和创新能力 在高三复习阶段 数学尖子生在复习数学时应该如何过手呢 以下 我们来谈一些在实际教学中的具体做法 供大家参考 数学尖子生如何过手 一 重视基础知识 弄透彻概念 数学是思维的体操 是智力的磨刀石 数学的基础知识的牢固程度是学好数学的关键之一 学生要考出好成绩 必须具备扎实 全面的基础知识和基本技能 但是数学尖子生大多数存在忽视基础的情况 把注意力都集中在难题上 考得不好 就说自己粗心大意了 所以在高三复习时 教师一定要杜绝学生以 粗心大意 为托词 让学生重视基础 养成严谨的学习态度和良好的学习习惯 例1 成都七中08级考题 映射对应的函数定义域是a 值域为b 则下列结论正确的是 a 集合a中的每一个元素必有象 但b中的元素不一定有原象 b 集合b中的元素必有原象 c 集合b中的元素只能一个有原象 d 集合a或b可以是空集 例2 成都七中08级考题 已知函数 在处有极值为10 则等于 二 掌握一些技巧 快节奏地完成选择题 填空题 选择题和填空题在高考中是最容易得分的 并且选择题和填空题的分数在本科分数中也占了一半 尖子生要考出比其它学生更优异的成绩 不仅要把这半壁江山的分数全部拿到手 而且必须快节奏地完成它们 为解答题留出充裕的时间 我们要求优生用30 35分钟的时间做完选择题 用40 45分钟的时间做完选择题和填空题 但不能太快 要在绝对保证正确的前提下加快速度 一定要让学生认识到 错两道选择题就等于最后一道大题没做 1 一般来说 有关三角函数 不等式和求取值范围的选择题 填空题 用赋值法能够快节奏地完成 例1 07年四川高考理科2 函数f x 1 log2x与g x 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是 例2 06年四川高考理科5 下列函数中 图像的一部分如下图所示的是 a b c d 2 数列问题取特殊的常数数列 自然数列 平面解析几何与立体几何取特殊的情况 如垂直关系等 例1 07年陕西高考理科5 各项均为正数的等比数列的前项和为为 若 则等于 a 80b 30c 26d 16 例2在平面四边形abcd中 若 则把四边形abcd沿ac折起来 ac bd所成角等于 a 300 b 600 c 900 d 450 3 取特殊的函数 数形结合以及其它方法等 例1 成都七中08级文科零诊 设定义在r上的函数f x 满足 1 当m n r时 f m n f m f n 2 f 0 0 3 当x1 则在下列结论中 f a f a 1 f x 在r上是递减函数 存在x0 使f x0 0 若 则 正确结论的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 例2 成都市07级零诊 已知直线y k x 3 k n 与双曲线 某学生作了如下变化 由消去y后得到形如ax2 bx c 0的方程 当a 0时该方程恒有一解 当a 0时 b2 4ac 0恒成立 假设学生的演算过程是正确的 根据该学生的演算过程所提供的信息 求出实数m的范围是 a b c d 例3 成都七中08级理 f x 是定义在r上的以3为周期的奇函数 且f 2 0 则方程f x 0在 0 6 内解的个数的最小值是 a 3 b 4 c 5 d 7 三 注意准确表达 书写规范 思维严密 高三的时间紧迫 学生都力求在最短的时间内做最多的事情 这本来是好事 于是 一些学生做题 就只有一个大概或者提纲式的 都不做完整 或者 有些学生思维活跃 解答时喜欢跳步 省略了关键步骤 在平时养成习惯 考试时也这样 解答题的过程分就容易被扣 造成不必要的损失 所以学生做的解答题时的过程要尽量详细 做完解答题后 都要给出结论 例 成都七中08级考题 设函数为f x 的导函数 解关于x的不等式 四 注意仔细审题 保证正常发挥 曾经问过不少平时成绩不错 但在高考中却失败的同学 为什么没考好 他们的回答几乎相同 没注意审题 的确 在高考这么短暂而又紧张的考试中 对平时已经进行了认真复习的学生来讲 审题决定成败 例 08级成都市零诊 在空间中 有如下命题 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 内的任意一条直线m 平面 则平面 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内的直线n 直线m 则直线n 平面 若p点到三角形三个顶点的距离相等 则点p在该三角形所在平面上的设影是该三角形的外心 其中正确命题的个数为 a 1个b 2个c 3个d 4个 五 学习导数后 解题方法要与时俱进 在学习了导数的有关知识后 数学学习成为了再创造 再发现的过程 有关函数单调性的问题以及函数最大值和最小值的问题 采用导数的方法一般来讲更简单明了 复习时 教师和学生都有一个重新审视旧知识利用新知识的过程 教师要做到精选 精讲 精评与学生的精练结合起来 不搞题海战术 但不练习 不强化也不行 这就要认真备教材 教法 学法 使之有的放矢 事半功倍 例已知函数f x x3 x c 定义在区间 0 1 上 x1 x2 0 1 且x1 x2 求证 1 f 0 f 1 2 f x1 f x2 2 x2 x1 3 f x1 f x2 1 六 根据学生情况 适当地补充一些知识的拓展点 提高学生的解题能力 近几年的高考中 出现了一些所谓的 高观点题 这些问题或者以高等数学知识为背景 或者体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法 在高考复习中 补充一些实用的新知识 不仅可以增长学生的见识 而且可以把一些问题化繁为简 1 在学习极限这部分知识时 当遇到型以及型时候 学生一般感觉比较困难 而高考一般都是考查这些类型的题目 因此有必要补充用洛毕达法则求极限 例 07年四川高考理科3 a 0 b 1 c d 2 对有些不等式的证明 利用函数凹凸性来证明 不仅能够降低题目难度 而且使证明过程更简单明了 但函数凹凸性的判断要用到二阶导数 另外 函数的二阶导数对于判断函数的极大值和极小值 非常方便 因此 有必要补充利用函数的二阶导数来判断函数凹凸性和极值 例 04年全国高考理科22 已知函数 1 求函数f x 的最大值 2 设0 a b 证明 3 有关曲线的切线问题 涉及题目较多 而法线问题多在立体几何中涉及 对少数特别优秀的学生 可以增加一些新知识 如补充曲线的法线问题 定义 过曲线的切点与切线垂直的直线叫做法线 例设椭圆的两个焦点为f1 3 0 及f2 3 0 直线y x 1是它的一条法线 试求该法线被椭圆截下的线段 法线段 的长度 七 重视教材中的一些问题改编到高考复习中来 2007年四川高考文 理的试题从教材的例题 习题中进行改编 如 1 2 3 4 5 6 10 13 14 15 16 17 这里仅以解析几何与三角函数为例来说明 例1 1 07年天津14 已知两圆x2 y2 10和 x 1 2 y 3 2 20相交于a b两点 则直线ab的方程是 2 07年四川15 已知 o的方程是x2 y2 2 0 o 的方程是x2 y2 8x 10 0 由动点p向 o和 o 所引的切线长相等 则动点p的轨迹方程是 例2 07年四川16 下面有五个命题 函数y sin4x cos4x的最小正周期是 终边在y轴上的角的集合是 a a 在同一坐标系中 函数y sinx的图象和函数y x的图象有三个公共点 把函数 函数其中真命题的序号是 例3 07年辽宁20 已知正三角形oab的三个顶点都在抛物线y2 2x上 其中o为坐标原点 设圆c是oab的内接圆 点c为圆心 i 求圆c的方程 ii 设圆m的方程为 x 4 7cos 2 y 7cos 2 1 过圆m上任意一点p分别作圆c的两条切线pe pe 切点为e f 求的最大值和最小值 八 注意把数学竞赛初赛和一试中的一些问题借鉴到高考复习中来 数学竞赛初赛和一试的试题贴近高考 这些问题往往被高考命题者借鉴 数学命题组由两部分人组成 少部分是中学教师 大部分是大学教授 中学教师注重基础 注重知识的覆盖面 大学教授注重区分度 注重中学教材和大学教材的衔接如数列 导数的应用 都是我们应予注重的方面 05年四川初赛 4 双曲线的左焦点为f1 顶点为a1 a2 p是该双曲线右支上任意一点 则分别以线段pf1 a1a2为直径的两圆一定 a 相交 b 内切 c 外切 d 相离 5 设a 1 2 10 若 方程x2 bx c 0满足b c a 且方程至少有一根a a 就称该方程为 漂亮方程 则 漂亮方程 的个数为 a 8 b 10 c 12 d 14 6 设a1 a2 a3 a4是1 2 3 4的任一排列 f是 1 2 3 4 到 1 2 3 4 的映射 且满足f i i 记数表 若数表m n的对应位置上至少有一个不同 就说m n是两张不同的数表 则满足条件的不同的数表的张数为 a 144 b 192 c 216 d 576 9 如图 一个立方体 它的每个角都截去一个三棱锥 变成一个新的立体图形 那么在新图形顶点之间的连线中 位于原立方体内部的有条 12 设r s t为整数 集合 a a 2r 2s 2t 0 t s r 中的数由小到大组成数列 an 7 11 13 14 则a36 14 正方形abcd的两顶点在抛物线y x2上 c d两点在直线y x 4上 求正方形的边长d 06年四川初赛 4 x为实数 函数f x 4cos3x 3cos2x 6cosx 5的最大值是a 7b 27 4c 25 4d 5 8 已知数列 an 满足a1 3 an 1 9 n 1 则an 14 已知直线y kx 1与双曲线x2 y2 1的左支交于a b两点 若另有一直线l经过点p 2 0 及线段ab的中点q 求直线l在y轴上的截距b的取值范围 15 已知数列 ak 定义如下 ak k 1 2 求证 1 2 对任意的正整数n 都有成立 16 如图是一个由3 4个单位方格组成的街道地图 线条为道路 甲从a 0 0 点出发按最短路程走向b 4 3 乙从b点按最短路程走向a点 如果他们同时出发 并且以相同的速度前进 那么 甲和乙在路上相遇的概率是多少 07年四川初赛 14 若 求的最大值几及取最大值时x的值 15 已知椭圆的右焦点为f 右准线与x轴交于e点 若椭圆的离