2017_18学年高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数第二课时三角函数线及其应用学案含解析.docx

第二课时三角函数线及其应用提出问题在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，过A(1,0)作ATx轴，交终边或其反向延长线于点T.问题1：根据上面的叙述画出分别取135，30，225和60时的图形提示：问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？提示：可以，|sin |MP|，|cos |OM|，|tan |AT|.导入新知1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线化解疑难三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值；(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后三角函数线的作法例1作出的正弦线、余弦线和正切线解角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.类题通法三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.活学活用作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.利用三角函数线比较大小例2分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小解在直角坐标系中作单位圆如图所示以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PMOx，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sinMP，cosOM，tanAT.同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sinMP，cosOM，tanAT.由图形可知，MPMP，符号相同，则sinsin；OMOM，符号相同，则coscos；ATAT，符号相同，则tantan.类题通法利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负活学活用设，试比较角的正弦线、余弦线和正切线的长度如果，上述长度关系又如何？解：如图所示，当MPOM；当MPOM.利用三角函数线解不等式例3利用三角函数线，求满足下列条件的的范围(1)sin .解(1)如图，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P两点，则sinxOPsinxOP，xOP，xOP，故的范围是.(2)如图，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P两点，则cosxOPcosxOP，xOP，xOP，故的范围是.类题通法利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点一般来说，对于sin xb，cos xa(或sin xb，cos xa)，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan xc(或tan xc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得活学活用利用三角函数线求满足tan 的角的范围答案：典例已知角的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在()Ay轴的非负半轴上By轴的非正半轴上Cx轴上Dy轴上解析由题意可知，sin 1，故角的终边在y轴上答案D易错防范1本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin 1，从而误选A.2若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.3解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置成功破障已知角的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在()A直线yx上B直线yx上C直线yx上或直线yx上Dx轴上或y轴上答案：C随堂即时演练1已知角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则的终边在()A第一象限的角平分线上B第四象限的角平分线上C第二、四象限的角平分线上D第一、三象限的角平分线上答案：C2如果MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()AMPOM0MPCOMMP0OM答案：D3若角的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为_答案：14用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_答案：sin 1cos 15若，利用单位圆证明：sin cos 1.证明：如图所示，设角的终边交单位圆于点P，作PMx轴于点M.因为sin MP|MP|，cos OM|OM|，所以sin cos |MP|OM|OP|，而|OP|1，所以sin cos 1.课时达标检测一、选择题1角和角有相同的()A正弦线B余弦线C正切线 D不能确定答案：C2已知的余弦线是单位长度的有向线段，那么的终边在()Ax轴上 By轴上C直线yx上 D以上都不对答案：A3若，则sin ，cos ，tan 的大小关系是()Atan cos sin Bsin tan cos Ccos tan sin Dcos sin tan 答案：D4设asin(1)，bcos(1)，ctan(1)，则有()Aabc BbacCcab Dacb答案：C5使sin xcos x成立的x的一个变化区间是()A. B.C. D0，答案：A二、填空题6利用单位圆，可得满足sin ，且(0，)的的集合为_答案：7若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是_答案：8若，则sin 的取值范围是_答案：三、解答题9试作出角的正弦线、余弦线和正切线试作出角的正弦线、余弦线和正切线解：如图：的余弦线、正弦线和正切线分别为OM，MP和AT.10利用单位圆中的三角函数线，求满足的x的取值范围解：由得如图所示，由三角函数线可得此交集为图形中的阴影重叠部分，即2kx2k(kZ)故x的取值范围为.11试利用单位圆中的三角函数线证明：当0