广东肇庆高中数学第22课极坐标与参数方程综合训练5学案.docx

第22课 极坐标与参数方程（综合训练5）一、学习要求1.掌握极坐标与直角坐标互化公式，并能熟练地进行坐标互化；2.能熟练地进行极坐标方程与直角坐标方程的互化；并能把极坐标问题转化为直角坐标问题来解决。3.掌握直线、圆、椭圆的参数方程及简单应用。能熟练地把它们的参数方程化为普通方程；4.能利用直线的参数方程中的参数的意义解决求两点间的距离、弦长等问题。二、问题探究合作探究例1在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）. （1）已知在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求点到直线的距离的最小值。 解：（1）点的极坐标化为直角坐标是；点的直角坐标是满足方程，点在直线上。 （2）点在曲线上，设， 点到直线的距离为： 当时，取最小值， 点到直线的距离的最小值是。三、问题过关1. 设直线经过点，倾斜角为. （1）求直线的参数方程； （2）求直线和直线：的交点到的距离； （3）求直线和圆的两个交点，到点的距离的和与积； （4）求直线被圆截得的弦长。解：（1）由直线的参数方程，得直线的参数方程为：（为参数），即（为参数）.（2）把直线的参数方程中的，代入直线的方程，得 ，解得， 直线和直线：的交点到的距离为：。 （3）把直线的参数方程中的，代入圆方程，得 ，化简，得，则 ， 两个交点，到点的距离的和为， 距离的积为。 （4）由（3）知， 直线被圆截得的弦长为： 。2.已知点是圆上的动点. （1）求的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围。 解：（1）把圆方程配方，得，圆心，半径， 设圆的参数方程为（为参数）. 则， ， 的取值范围是。 （2）， 当时， 恒成立，即恒成立， ，实数的取值范围。1【10新课标（文23）】（本小题满分10分）已知直线：（为参数），：（为参数），（）当时，求与的交点坐标；（）过坐标原点做的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。【解】（）当时，的普通方程为，的普通方程为。由 ，解得，；与的交点为，。（）的普通方程为：。与直线垂直，可得的方程为；由解得点的坐标为：；为中点，当变化时，点的轨迹的参数方程为：（为参数）；点的轨迹的普通方程为。点轨迹是圆心坐标为，半径为的圆。2【11新课标（文23）】 (本小题满分10分) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求。【解】（）设，则由条件知。点在上，即；的参数方程为：（为参数）。（）曲线的极坐标方程为；曲线的极坐标方程为。射线与的异于极点的交点为的极径为，射线与的异于极点的交点为的极径为。【另解】曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；射线的普通方程为（）。解方程组，得射线与的异于极点的交点为；解方程组，得射线与的异于极点的交点为。3【12新课标（文23）】(本小题满分10分)已知曲线的参数方程是，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且，依逆时针次序排列，点的极坐标为。（）求点，的直角坐标；（）设为上任意一点，求的取值范围。【解】（）点的极坐标为，且正方形的顶点，依逆时针次序排列，点，的极坐标分别为：，。点，的直角坐标分别为：，。（）设。点在曲线上，（为参数）。，的取值范围是。4【13新课标（文23）】（本小题10分）已知曲线的参数方程为 (为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（）把的参数方程化为极坐标方程；（）求与交点的极坐标（，）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题。【解】（）将曲线的参数方程 (为参数）消去参数，得曲线的普通方程为；，即，的极坐标方程为：。（）将的极坐标方程为化为普通方程得：；由，解得或；与交点的极坐标，。5【13新课标（文23）】（本小题满分10分）已知动点，都在曲线：（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。（）求的轨迹的参数方程；（）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。【解】（）依题意有，的轨迹的参数方程为：（为参数，）。（）到坐标原点的距离：，当时，的轨迹过坐标原点。6【14新课标（文23）】（本小题满分10分）已知曲线：，直线：(为参数）。（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值。【解】（）曲线的参数方程为：(为参数），直线的普通方程为：。 （）在曲线上任意取一点到的距离为：，其中为锐角，且。当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为。7【14新课标（文23）】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程，。（）求的参数方程；（）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定的坐标。【解】（）半圆的极坐标方程为：，半圆的直角坐标方程为：（，）。令，半圆的参数方程为：（）。 （）曲线在处的切线与直线：垂直，直线和直线平行，直线和直线斜率相等；设点的坐标为，解得，。点的坐标为。8【15新课标（文23）】在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。（）求，的极坐标方程。（）若直线的极坐标方程为（），设，的交点为，求 的面积。【解】（），的极坐标方程为：；的极坐标方程为：。（）由，解得，圆的半径为1， 的面积为：。9【15新课标（文23）】在直角坐标系中,曲线：(为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线：，：