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文档简介

9 1二次型和对称矩阵 定义1 设是一个数域 上元二次齐次多项式叫做上一个元二次型 简称二次型 例1 判断下列各式是否为二次型 1 式可写成以下形式 令 利用矩阵乘法 则 2 可写成 其中为对称矩阵 称为二次型的系数矩阵 简称为的矩阵 并把矩阵的秩称为二次型的秩 例2 写出下列二次型的矩阵 例3 写出下列方阵对应的二次型 如果对二次型 3 的变量实施如下变换 那么就得到一个关于的二次型 4 式称为变量的线性变换 令是 4 的系数所构成的矩阵 则 4 可以写为 将和代入 3 得矩阵称为线性变换 4 的矩阵 如果是非奇异 可逆 的 就称 4 是一个非奇异线性变换 非退化线性替换或满秩线性代换 因为A是对称矩阵 所以所以也是对称矩阵 于是有 定理9 1 1 设是数域上的一个以A为矩阵的元二次型 对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后得到的二次型的矩阵为 例4 求对二次型的变量施行线性变换后得到的二次型 推论9 1 2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变 定义2 设是数域上的两个阶矩阵 如果存在上的一个阶非奇异 可逆 矩阵 使得 则称与合同 矩阵合同的性质 1 自反性 任意矩阵都与自身合同 2 对称性 若与合同 则与也合同 3 传递性 若与合同 与合同 则与合同 结论 合同矩阵的秩相等 且与一个对称矩阵合同的矩阵也对称 定义 若上一个二次型可通过非奇异线性变换变为上的另一个二次型 则这两个二次型等价 定理9 1 3 数域上两个二次型等价它们的矩阵合同 等价的二次型的秩相同 定理9 1 4 设是数域上的一个阶对称矩阵 则总存在上的一个阶非奇异矩阵 使得 即 上每一个阶对称矩阵都与一个对角形矩阵合同 为对称矩阵 求一个可逆矩阵 使得是对角形的方法 例5 设 求一个可逆矩阵 使得是对角形 定理9 1 5 数域上每一个元二次型 可通过变量的非奇异线性变换化为 标准形或对角形 其中 例6 用
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