高三数学直线和平面垂直与平面和平面垂直2课时.ppt

直线和平面垂直与平面和平面垂直 1 直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直 那么就称这条直线和这个平面垂直 2 直线与平面垂直的判定 常用方法有 判定定理 b a b a 线面垂直性质定理 a a 面面平行性质定理 l a l a a 面面垂直性质定理 1 直线与平面垂直的判定 2 直线与平面垂直的性质 距离 3 点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线 这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 4 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到这个平面的距离 叫做这条直线和平面的距离 一个平面的斜线和它在这个平面上的射影的夹角 叫做这条斜线和这个平面所成的角 或斜线和平面的夹角 如果直线和平面垂直 那么就说直线和平面所成的角是直角 如果直线和平面平行或在平面内 那么就说直线和平面所成的角是0 的角 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角 注意 直线和平面所成角的范围和最小性 5 直线和平面所成的角 斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 垂线段比任何一条斜线段都短 重要公式如图 已知ob 平面 于b oa是平面 的斜线 a为斜足 直线ac 平面 设 oab 1 又 cab 2 oac 那么cos cos 1 cos 2 6 三垂线定理和三垂线定理的逆定理 定义法三垂线定理法垂面法 7 二面角 4 直两面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 5 两个平面垂直 8 两个平面垂直的判定和性质 例题讲解 例1 设a b是两条异面直线 在下列命题中正确的是 a 有且仅有一条直线与a b都垂直 b 有一个平面与a b都垂直 c 过直线a有且仅有一个平面与b平行 d 过空间中任一点必可作一条直线与a b都相交 c 已知m l是直线 是平面 给出下列命题 a 若l垂直于 内的两条相交直线 则l b 若l平行于 则l平行于 内的所有直线 c 四面体中最多可以有四个面是直角三角形 d 若m l 且 则m l其中正确命题的是 acd 例1 是两个不同的平面 m n是平面 及 之外两条不同的直线 给出四个论断 a m n b m c d n 以其中三个论断作为条件 余下一个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 例2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m为cc1的中点 ac交bd于点o 求证 a1o 平面mbd 例3 如图 四边形abcd为正方形 sa 平面abcd 过a且垂直sc的平面分别交sb sc sd于e f g 求证 ae sb ag sd 例4 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 底面 abc是直角三角形 abc 900 2ab bc bb1 a 且a1c ac1 d bc1 b1c e 截面abc1与截面a1b1c交于de 1 a1b1 平面bb1c1c 2 求证 a1c bc1 3 求证 de 平面bb1c1c 例5 如图 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d中 e f分别为d1c1与ab的中点 1 求a1b1与截面a1ecf所成的角 2 求点b到截面a1ecf的距离 例6 如下图 过s引三条长度相等但不共面的线段sa sb sc 且 asb asc 60 bsc 90 求证 平面abc 平面bsc 练习 如图 平面 四边形 是矩形 分别是 的中点 求平面 与平面 所成二面角的大小 求证 平面 平面 例7 如图 四棱锥p abcd的底面是矩形 pa平面abcd e f分别是ab pd的中点 又二面角p cd b为45 1 求证 af 平面pec2 求证 平面pec平面pcd3 设ad 2 cd 求点a到平面pec的距离 1 求证 平面 平面 2 求二面角 的平面角的正切值 例8 如图正方体 中 分别是 的中点 例9 已知正三棱柱abc a1b1c1 若过面对角线ab1与另一面对角线bc1平行的平面交上底面a1b1c1的一边a1c1于点d 1 确定d的位置 并证明你的结论 2 证明 平面ab1d 平面aa1d 3 若ab aa1 求平面ab1d与平面ab1a1所成角的大小 例10 在四棱锥p abcd中 abcd为正方形 pa 平面abcd pa ab a e为bc中点 1 求平面pde与平面pab所成二面角的大小 2 求平面pba与平面pdc所成二面角的大小 在120 的二面角 已知点a和b到棱的距离分别为2和4 且ab 10 求 1 直线ab与棱a所成的角 2 直线ab与平面 所成的角 知识方法总结 1 线面垂直关系的判定和证明 要注意线线垂直关系 面面垂直关系与它之间的相互转化 2 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线 斜线在平面上的射影 而确定射影的关键又是 垂足 如果 垂足 定了 那么 垂足 和 斜足 的连线就是斜线在平面上的射影 4 注意线线垂直 线面垂直 面面垂直之间的转化条件和转化应用 3 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线 否则用作辅助线解决之 要过平面外一点p作平面 的垂线 通常是先作 找 一个过点p并且和 垂直的平面 设 l 在 内作直线a l 则a 例5 如图 p是 abc所在平面外一点 且pa 平面abc 若o和q分别是 abc和 pbc的垂心 试证 oq 平面pbc 作业 走向高考p2599p260 5 6 补1 在二面角中 a b c d abcd是矩形 p pa 且pa ad m n依次是ab pc的中点 证明 是异面直线 和 的公垂线 求异面直线 与 所成的角 2 如图 p是 abc所在平面外一点 且pa 平面abc 若o和q分别是 abc和 pbc的垂心 试证 oq 平面pbc 3 如图 在五棱锥s abcde中 sa 底面abcde sa ab ae 2 bc de bae bcd cde 120 求异面直线cd与sb所成的角 用反三角函数值表示 证明bc 平面sab 求二面角b sc d的平面角的余弦值 如图 在平面角为600的二面角 l 内有一点p p到 分别为pc 2cm pd 3cm 则 1 垂足的连线cd等于多少 2 p到棱l的距离为多少 4 如图