初三反比例函数知识要点和练习.doc

第十七章、反比例函数第一节、知识梳理反比例函数一、学习目标：. 掌握用描点法画反比例函数图象的方法和步骤，并结合函数图象正确理解和掌握反比例函数的概念和性质. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式，重点掌握待定系数法求反比例函数的解析式. 能用反比例函数解决生活实际问题，在解决物理问题，日常生产、生活问题的时候构建反比例函数模型二、知识概要：三、要点点拨：. 反比例函数自变量x的取值范围为x. 反比例函数的图象为两支，这两支不连续，且以原点为对称中心成中心对称与坐标轴无限接近但不能相交. 反比例函数值的变化规律要在同一支曲线上去研究四、中考视点：有关反比例函数的试题主要出现在客观题中，但在解答中也时有出现，考查的主要内容有：1. 反比例函数的图象及性质是中考命题的重点2. 求反比例函数的解析式（重点考查待定系数法），并与现实生活中的问题相联系，有增加的趋势.3. 借助于交点坐标，构建与正比例函数、一次函数的综合题，是中考命题的热点.实际问题与反比例函数一、学习目标：.能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决实际问题. 能够画出描述实际问题的函数图象，并根据图象反应出的量的变化规律去解决实际问题.二、知识概要：.根据实际情景构建反比例函数关系式（）数学中常用的反比例函数关系式（）物理学中常用的反比例函数关系式（）利用实际问题情境中给出的数量关系，建立反比例函数关系式.利用反比例函数关系解决实际问题.有关实际问题中的反比例函数图象.（）作出实际问题的函数图象.（）利用实际问题的函数图象解决问题三、知识链接：“反比例关系”和“反比例函数”的联系与区别：反比例关系是小学的概念：如果xyk（k是常数，k），那么x与y这两个量成反比例关系这里x，y既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式例如y与x成反比例，即反比例的关系式为，但x和y不一定是反比例函数但反比例函数中的两个变量必成反比例关系四、中考视点：由实际问题中给出的数量关系写出反比例函数，再由反比例函数的性质去解决实际问题是本节考查的重点.第二节、教材解读一、【例1】 已知y关于x的反比例函数的图象过点（，）（）求y与x的函数解析式；（）求当x时y的值【思考与分析】 由反比例函数的形式y=（k是常数，k0），可知求解析式的关键是确定系数k的值，所以我们可以根据条件用待定系数法求之【小结】 待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1） 设出含有待定系数的解析式y=（k0，k为待定系数）；（2） 将已知条件代入（只需知道一个点的坐标）；（3） 解出待定系数；（4） 将求得的值代回所设解析式.二、要点收藏夹 反比例函数（k为常数，k0）的图象是双曲线. （1）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； （2）当k0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x值的增大而增大； （3）双曲线的两支无限接近x轴和y轴，但永远达不到x轴和y轴（即双曲线的两支与x轴和y轴没有交点）； （4）双曲线的两支关于直线yx对称.三、典型例题剖析 【例2】如果反比例函数的图象经过点（1，2），那么k的值是（ ） 写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式 . 当a _时，反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小. 【思考与分析】我们知道在反比例函数解析式中，如果常数k确定了，则这个反比例函数关系式就确定了. 由的图象经过点（1，2），故将x1，y2同时代入解析式便可求出k值； 由反比例函数的图象位于第二、四象限，可知k0，因此所写的函数关系式只要满足k0就行； 由反比例函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小可知k0，即1a0，从而求出a应满足的条件. 【小结】求反比例函数解析式的关键是借助已有的条件，如过已知某点，或两个分支所在的象限或图象在每一个象限内y值随x值的变化情况等信息求出k的值或k满足的条件.四、在构建反比例函数模型解决实际问题的时候需注意分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型（在反比例函数关系中，两个变量的积是定值）【例3】 已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走.（1）运走所需的时间t（天）与运走速度v（吨/天）有什么样的函数关系？（2）若该盐厂有工人80名，每天最多共可运走500吨盐，则预计盐最快可在几日内运完？（3）若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在天内把剩下的盐全部运走，则需要从其它盐厂调过多少人？【思考与分析】 我们知道这是一道工程问题，关键是要熟悉本类问题中各量之间的关系.（1）盐的总量运走所有的盐所需的时间运盐的速度，可得t与v的函数关系式；（2）每天运盐500吨，即v=500，把v=500代入（1）中函数关系式可求得对应的t；（3）设从其它盐厂调过n人，依据剩下的盐80个工人运走的盐+n个工人运走的盐，列方程求出n即可.【小结】本题的关系式是：盐的总量运走所有的盐所需的时间运盐的速度，当然，这三者之间的关系还可以相互转化，通常只要知道其中的两个量就可求出或表示出第三个量；第（2）题实际上是求值问题，只要代入（1）即可；第（3）题借助了方程进行解答.第三节、错题剖析一.反比例函数中，切记k0【例1】若函数为反比例函数，则m= .错解：因为为反比例函数，所以|m|=1，所以m=1.错解剖析：反比例函数的定义是：一般地，形如（k0，k为常数）的函数叫做反比例函数.定义中强调了系数k0，k为常数这一条件.错解忽视了k0这个条件.在本题中m-1相当于定义中的k，这里应有m-10，所以m1.正解：由|m|=1，得m=1又因为m-10，所以m1所以m=-1.反思：解决反比例函数中的字母取值问题，一定要注意k0这一限制条件，否则容易出现错误.二.注意自变量的取值范围【例2】一矩形的面积是10，则这个矩形的一组邻边长y与x的函数关系的图象大致是（ ）错解：选C.错解剖析：本题是一道实际问题，已知矩形的面积是10，两邻边长分别是x，y，所以xy=10，所以 （x0），此函数是反比例函数，由于自变量x的取值范围是x0，所以函数的图象只有一个分支，且在第一象限.而错解忽视了实际问题中自变量的范围.正解：选D.反思：在具体问题中确定反比例函数的图象，一定要注意自变量的取值具有实际意义.三、对反比例函数概念理解不透【例3】在下列函数关系式：，2xy1中，y是x的反比例函数的个数是（ ） A.2B.3C.4D.5 错解：选D. 错解剖析：选D是因为对反比例函数概念理解不透.反比例函数的概念是：一般地，形如（k为常数，k0）的函数称为反比例函数. 反比例函数通常有3种表达形式： 1：（上述三个式子中k都为常数，且k0）. 正解：选B 四、对反比例函数图象及其性质理解不透 【例4】若点（1，y1），（2，y2），（2，y3），在反比例函数的图象上，则（ ） A.y1y2y3 B.y2y1y3 C. y3 y1y2 D.y3y2 y1 错解：选C. 错解剖析：对反比例函数图象及其性质理解不透，误认为y随x的增大而增大.反比例函数图象的增减性为：当k0时，在同一象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一象限内，y随x的增大而增大.这里要特别注意“在同一象限内”这一点，本题中三个点并不在同一象限内.可以用函数的增减性来解决问题，也可以直接代入，求出这三个点的纵坐标的值，来比较函数值的大小. 正解：选A. 【小结】反比例函数的概念和图象及性质是我们学习这一章内容应该牢牢把握的，很多题目会考查到这些知识，我们要能正确应用.五、将反比例函数与正比例函数混为一谈【例5】近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，则y与x的函数关系式为 .错解：因为度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，所以设反比例函数解析式为：ykx.又因为200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m，所以2000.5k，解得k400.所以y与x的函数关系式为y400x.错解剖析：本题是以物理中的物理现象与定律为背景，考查反比例函数的解析式的确定，其中反比例与正比例是两个不同的概念，错解正是混淆了这两个概念而导致的错误.正解：设反比例函数解析式为，根据题意，得00，解得k100.所以y与x的函数关系式为六、错误地理解题意，得到不切实际的答案【例6】某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少个售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能使全部学生就餐完毕.（1）共有多少学生就餐？（2）设开放x个窗口时，需要y小时才能使当天就餐的同学全部吃上饭，试求出y与x之间的函数关系式.（3）已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以使当天就餐的学生全部就餐？错解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即310601800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得y360x+1800，即y与x之间的函数关系式为：y180x+1800.（3）由（2）知，当x20时，y5400.即当同时开放20个窗口时，最少需5400小时可以使当天就餐的学生全部就餐.错解剖析：本题中的第（1）问是没有错的，问题是在（2）问上，由于当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，则由题意列出的等式应该是360xy1800，化简后应是反比例函数，若能正确地求出（2），问题（3）也就不会再出现错误了.正解：（1）可先计算出每分钟10个窗口可售给的学生数再乘以就餐所需的时间就能求得全部学生数，即310601800（名）.（2）当天就餐的人数由（1）已经确定，每分钟可以售给的学生个数也是固定的，所以由题意，得360xy1800，即y与x之间的函数关系式为（3）由（2）知，当x20时，y0.5.即当同时开放20个窗口时，最少需0.5小时可以使当天就餐的学生全部就餐.第四节、思维点拨【例1】 如图，如果函数y=kxk和函数（其中k为不等于的常数）的图象在同一坐标系中，其图象为（）.【思考与分析】 本例是一次函数与反比例函数的图象综合题，我们把函数解析式与函数图象有机结合起来解决这类问题.一般解法：1.我们可以分k0和k0两种情况，由k的符号确定图象的位置；2可以由一个图象在坐标系中的位置，确定k的取值范围，再判断另一图象画得是否正确；3.由两图象的位置分别确定k的取值范围，最后看它们是否一致.【例2】 已知反比例函数和一次函数y=mx+n的图象的一个交点是A（3，4），且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式.【思考与分析】 已知双曲线和直线都经过点A（3，4），可将A点分别代入解析式用待定系数法确定k，而一次函数与x轴的交点到原点的距离为5，可知交点为（5，0）或（5，0），然后联立组成方程组，求出m，n的值.【小结】方程思想是重要的数学思想之一，它是在所给定的数学问题中挖掘并找出已知量与未知量之间的等量关系，再通过对未知量设元，构成方程或方程组，解出未知量，从而达到解决问题的目的.在函数这一部分，许多需要我们确定函数解析式的考题都需要我们根据题中条件构建方程来解决【例3】 某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间.经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y亿度与（x0.4）成反比例，又当x0.65元时，y0.8（）求y与x的函数关系式；（）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益是多少？收益用电量（实际电价成本价）【思考与分析】 本题y与x虽不是反比例函数，但根据题意y与（x0.4）成反比例，根据反比例的特点列出关系式，用待定系数法就可确定函数关系式用电量为，实际电价减去成本价为x0.3，二者乘积即为收益根据题意列出方程解之即可得到结果【小结】反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一很多实际问题都可以归结为反比例函数的问题来解决用反比例函数解决实际问题的具体步骤是：（）认真分析实际问题中变量之间的关系；（）若变量之间是反比例关系，则建立反比例函数模型（即确定反比例函数解析式）；（）利用反比例函数的性质去解决实际问题反比例函数的应用中经常用到数形结合思想.数形结合思想就是在研究问题时把数与形结合起来考虑，不是把问题的数量关系转化为图形的性质，就是把图形的性质转化为数量关系来考虑，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.【例4】某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？（3）如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F在什么范围内？【思考与分析】（1）首先观察图象得到F是v的反比例函数，同时该函数图象通过点（3000，20），然后把F=3000，v=20代入函数关系式P=Fv中得到功率P的值；（2）把F=1200牛代入（1）中求得的函数关系式就能求出速度v的值；（3）由于车速v不超过30米秒，所以v30，即30，然后根据函数图象及性质知：F随着v的增大而减小即可得到F的范围.解：（1）由P= Fv=20 3000=60000，v=；（2）当F=1200时，v=50（米/秒）=180（千米/时），所以当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时；（3）当v=30米/秒时，代入v= 则F=2000（牛）所以当v30米/秒时，即30，则F2000（牛）所以如果限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应大于等于2000牛【小结】解决这道题的关键是读懂题意，看懂图象，充分挖掘图象中隐含的已知条件，然后根据函数图象，确定函数解析式，并利用图象及性质解题.第五节、竞赛数学一、【例1】 一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交与M，N两点.如图所示：（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.【思考与分析】 将（-1，-4）代入反比例函数解析式求出k值，再将x=2代入其中求出m的值，然后把M，N两点坐标代入y=ax+b解二元一次方程组，求出a、b的值.解： （1）将N（-1，-4）代入，得k=4从而反比例函数的解析式为：.将M（2，m）代入到中，解得：m=2.将M（2，2）、N（-1，-4）代入y=ax+b中，解得：a=2，b=-2.所以一次函数的解析式：y=2x2.（2）由图象可知，当x-1或0x2时，反比例函数的值大于一次函数的值.【小结】数形结合思想是重要的数学思想，函数图象和几何图形一样具有直观形象的特征，如果能发现函数解析式及式子中的相关系数的几何意义，将数量关系借助图象使之形象化、直观化，就可以简化求解过程二、反比例函数图象的对称性 反比例函数（k0）的图象是双曲线，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，都过原点且互相垂直；坐标原点是它的对称中心.三、反比例函数（k0）中的比例系数k的几何意义 1如图1，过双曲线上的任意一点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PMPN，而PM=y，PN=x，所以矩形PMON的面积S=PMPN=xyxy. 因为,所以xy = k，S=PMPN=k.即过双曲线上的任意一点作x轴和y轴的垂线，所得的矩形面积为k. 2如图1过双曲线上的任意一点E作其中一个坐标轴的垂线EF，连接OE，则OEF的面积为 【例2】如图2，直线ykx（k0）与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y27x2y1 。 【解析】由双曲线的对称性可知，点A、B关于点O成中心对称，x1=x2，y1=y2，由反比例函数y（k0）中的比例系数k的几何意义得：x1y1x2y2x1y2x2y1 因为x10，x20，y10，y20， 所以x1y2=4，x2y14， 则2x1y27x2y120. 【小结】此题充分利用了反比例函数的图象的对称性和比例系数k的几何意义.我们在学习中要充分利用反比例函数的图象，挖掘函数图象的性质，从几何的角度去研究反比例函数.第六节、本章训练基础训练题1.函数，当x0时，函数的图象在第 象限.2.已知反比例函数的图象在第二、四象限，则直线ykx4不经过第 象限. 3.图象经过点（1，2）的反比例函数的表达式是 . 4.如图，P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是 .5.反比例函数和正比例函数的图象都经过点A（1，2），则这两个函数的解析式分别是 和 .6.已知一次函数ykx2中，y随x的增大而减小，那么关于反比例函数y，下列说法正确的是（ ） A.当x0时，y0 B.在每个象限内，y随x的增大而减小 C.图象在一、三象限 D.图象在二、四象限提高训练题1.如果点（1，2）在双曲线上，那么该双曲线在第 象限.2.已知函数ykx的图象经过点（2，6），则函数的解析式可确定为： .3.反比例函数，当m 时，其图象在第二、四象限；当m 时，其图象在各自象限内，y随x增大而减小.4.甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间y（小时）表示为汽车的平均速度x（千米/时）的函数，则这个函数的图象大致是（ ）.5.若反比例函数y（m29）的图象在它所在的象限内，y随x的增大而增大，则m . 6.若y与成正比例，x与成反比例，则y与z成比例. 7.已知点P（1，a）在反比例函数y（k0）的图象上，其中am2+1（m为实数），则这个函数的图象在第象限.8.已知x15，x21是一元二次方程x2bxc0的两个根，反比例函数y的图象过点P（c，b），则这个反比例函数的解析式为（ ） 9.码头工人以每天吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间. （1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？强化训练题1.正比例函数yx的图象与反比例函数y的图象有一个交点的纵坐标是， 求：（1）x时反比例函数y的值； （2）当x1时反比例函数y的取值范围. 2.已知双曲线y与直线yx7有一交点为（a，b），求. 3.已知一次函数yx6和反比例函数y（k0），当k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点？4.如图1所示，P是反比例函数的图象上一点，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则反比例函数的解析式为（ ）.5.如图2所示，反比例函数和一次函数ykxb的图象相交于A、B两点.利用图中的条件分别确定反比例函数与一次函数的解析式.6.某课外小组在做气体实验时，获得压强P（Pa）与体积V（cm3）之间有下列对应的数据：根据表中提供的信息，回答下列问题：（1）猜想P与V之间的关系，并求出函数的关系式；（2）当气体的体积是12cm3时，压强是多少？ 7如图，已知直线