降幂公式、辅助角公式应用.doc

降幂公式 辅助角公式应用 降幂公式 cos 2 1 cos2 2 sin 2 1 cos2 2 tan 2 1 cos 2 1 cos 2 推导公式如下 直接运用二倍角公式就是升幂 将公式 Cos2 变形后可得到降幂公式 cos2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 cos2 2 cos 2 1 cos 2 cos2 1 2 cos2 1 2 sin 2 sin 2 1 cos2 2 降幂公式 例 10 2008 惠州三模 已知函数xxxxfcossinsin3 2 I 求函数的最小正周期 II 求函数的值域 xf 2 0 xxf在 解解 xxxxfcossinsin3 2 x x 2sin 2 1 2 2cos1 3 I 2 3 2cos 2 3 2sin 2 1 xx 2 3 3 2sin x 2 2 T II 2 0 x 3 4 3 2 3 x1 3 2sin 2 3 x 所以的值域为 xf 2 32 3 点评点评 本题考查三角恒等变换 三角函数图象的性质 注意掌握在给定范围内 三角函数值 域的求法 例例 11 2008 广东六校联考 已知向量 cosx sinx 且a 2 3 2 3 b 2 sin 2 cos xx x 0 2 1 求ba 2 设函数 求函数的最值及相应的的值 baxf ba xfx 解 解 I 由已知条件 得 2 0 x 33 coscos sinsin 2222 xxxx ab 22 33 coscos sinsin 2222 xxxx xxsin22cos22 2 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cossin2 xxxx xxf xx2cossin2 因为 所以 2 3 2 1 sin21sin2sin2 22 xxx 2 0 x1sin0 x 所以 只有当 时 或时 2 1 x 2 3 max xf0 x1 x1 min xf 点评点评 本题是三角函数与向量结合的综合题 考查向量的知识 三角恒等变换 函数图象等 知识 例例 12 2008 北京文 理 北京文 理 已知函数的最 2 sin3sinsin 0 2 f xxxx 小正周期为 求 的值 求函数 f x 在区间 0 上的取值范围 2 3 解解 1 cos23 sin2 22 x f xx 311 sincos2 222 xx 1 sin 2 62 x 因为函数 f x 的最小正周期为 且 0 所以 2 2 解得 1 由 得 1 sin 2 62 f xx 因为 0 x 2 3 所以 1 2 2 6 x 7 6 所以 1 1 2 2 6 x 因此 0 即 f x 的取值范围为 0 1 sin 2 62 x 3 2 3 2 点评 点评 熟练掌握三角函数的降幂 由 2 倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂 在训 练时 要注意公式的推导过程 辅助角公式与三角函数的图像变换 例 9 2008 深圳福田等 已知向量 函数 3sin cos cos cos axxbxx 21f xa b 1 求的最小正周期 2 当时 若求的值 f x 62 x 1 f x x 解解 1 2 2 3sin cos2cos1f xxxx 3sin2cos2xx 2sin 2 6 x 所以 T 2 由得 1 f x 1 sin 2 62 x 62 x 7 2 626 x 5 2 66 x 3 x 点评点评 向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点 但通常难度不大 一般就是以向 量的坐标形式给出与三角函数有关的条件 并结合简单的向量运算 而考查的主体部分则是 三角函数的恒等变换 以及解三角形等知识点 例 10 2007 山东文 在中 角的对边分别为 ABC ABC tan3 7abcC 1 求 cosC 2 若 且 求 5 2 CB CA 9ab c 解解 1 sin tan3 73 7 cos C C C 又 解得 22 sincos1CC 1 cos 8 C 是锐角 tan0C C 1 cos 8 C 2 由 5 2 CB CA 5 cos 2 abC 20ab 又 9ab 22 281aabb 22 41ab 222 2cos36cababC 6c 点评点评 本题向量与解三角形的内容相结合 考查向量的数量积 余弦定理等内容 例 11 2007 湖北 将的图象按向量平移 则平移后所得图象 2cos 36 x y 2 4 a 的解析式为 2cos2 34 x y 2cos2 34 x y 2cos2 312 x y 2cos2 312 x y 解解 由向量平移的定义 在平移前 后的图像上任意取一对对应点 Px y P x y 则 代入到已知解析式中可得选 2 4 a P Pxx yy 2 4 xxyy 点评点评 本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识 以平移公式切入 为中档题 注意不要将向量与对应点的顺序搞反 或死记硬背以为是先向右平移个单位 再向下平移 2 个 4 单位 误选 例 12 2008 广东六校联考 已知向量 cosx sinx 且a 2 3 2 3 b 2 sin 2 cos xx x 0 2 1 求ba 2 设函数 求函数的最值及相应的的值 baxf ba xfx 解 解 I 由已知条件 得 2 0 x 22 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos xxxxxxxx ba xxsin22cos22 2 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cossin2 xxxx xxf xx2cossin2 2 3 2 1 sin21sin2sin2 22 xxx 因为 所以 2 0 x1sin0 x 所以 只有当 时 2 1 x 2 3 max xf 或时 0 x1 x1 min xf 点评点评 本题考查向量 三角函数 二次函数的知识 经过配方后 变成开口向下的二次函数 图象 要注意 sinx 的取值范围 否则容易搞错 降幂公式 辅助角公式题库 1 1 20102010 浙江理 浙江理 11 函数 2 sin 2 2 2sin 4 f xxx 的最小正周期是 解析 2 4 2sin 2 2 xxf故最小正周期为 本题主要考察了三角恒等变换及相关 公式 属中档题 2 2 20102010 浙江文 浙江文 12 函数 2 sin 2 4 f xx 的最小正周期是 答案 2 1 1 20102010 湖南文 湖南文 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 sin22sinf xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 求函数 f x的最大值及 f x取最大值时 x 的集合 5 5 20102010 北京文 北京文 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2cos2sinf xxx 求 3 f 的值 求 f x的最大值和最小值 解 2 2 2cossin 333 f 31 1 44 22 2 2cos1 1 cos f xxx 2 3cos1 xxR 因为 cos1 1x 所以 当cos1x 时 f x取最大值 2 当cos0 x 时 f x去最小值 1 6 6 20102010 北京理 北京理 15 本小题共 13 分 已知函数 x f 2 2cos2sin4cosxxx 求 3 f 的值 求 x f的最大值和最小值 解 I 2 239 2cossin4cos1 333344 f II 22 2 2cos1 1 cos 4cosf xxxx 2 3cos4cos1xx 2 27 3 cos 33 x xR 因为cosx 1 1 所以 当cos1x 时 f x取最大值 6 当 2 cos 3 x 时 f x取最小值 7 3 9 9 20102010 湖北文 湖北文 16 本小题满分 12 分 已经函数 22 cossin11 sin2 224 xx f xg xx 函数 f x的图象可由函数 g x的图象经过怎样变化得出 求函数 h xf xg x 的最小值 并求使用 h x取得最小值的x的集合 10 10 20102010 湖南理 湖南理 16 本小题满分 12 分 已知函数 2 3sin22sinf xxx 求函数 f x的最大值 II 求函数 f x的零点的集合 1 2009 年广东卷文 函数1 4 cos2 2 xy是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 C 最小正周期为 2 的奇函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 答案 A 解析 因为 2 2cos 1cos 2sin2 42 yxxx 为奇函数 2 2 T 所以选 A 8 2009 安徽卷理 已知函数 3sincos 0 f xxx yf x 的图像与直线2y 的两 个相邻交点的距离等于 则 f x的单调递增区间是 A 5 1212 kkkZ B 511 1212 kkkZ C 36 kkkZ D 2 63 kkkZ 答案 C 解析 2sin 6 f xx 由题设 f x的周期为T 2 由222 262 kxk 得 36 kxkkz 故选 C 9 2009 安徽卷文 设函数 其中 则导数 的取值范围是 A B C D 答案 D 解析 2 1 1 sin3cos x fxx sin3cos2sin 3 52 0 sin 1 1 2 2 1232 f 选 D 10 2009 江西卷文 函数 13tan cosf xxx 的最小正周期为 A 2 B 3 2 C D 2 答案 A 解析 由 13tan coscos3sin2sin 6 f xxxxxx 可得最小正周期为2 故选 A 11 2009 江西卷理 若函数 13tan cosf xxx 0 2 x 则 f x的最大值为 A 1 B 2 C 31 D 32 答案 B 解析 因为 13tan cosf xxx cos3sinxx 2cos 3 x 当 3 x 是 函数取得最大值为 2 故选 B 24 2009 年上海卷理 函数 2 2cossin2yxx 的最小值是 答案 12 解析 cos2sin212sin 2 1 4 f xxxx 所以最小值为 12 27 2009 上海卷文 函数 2 2cossin2f xxx 的最小值是 答案 12 解析 cos2sin212sin 2 1 4 f xxxx 所以最小值为 12 30 2009 北京文 本小题共 12 分 已知函数 2sin cosf xxx 求 f x的最小正周期 求 f x在区间 6 2 上的最大值和最小值 解析 本题主要考查特殊角三角函数值 诱导公式 二倍角的正弦 三角函数在闭区间上的最值 等基础知识 主要考查基本运算能力 解 2sincos2sin cossin2f xxxxxx 函数 f x的最小正周期为 由2 623 xx 3 sin21 2 x f x在区间 6 2 上的最大值为 1 最小值为 3 2 33 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 设函数f x cos 2x 3 sin 2 x 1 求函数 f x 的最大值和最小正周期 2 设A B C为 ABC的三个内角 若 cosB 3 1 1 24 c f 且C为锐角 求 sinA 解 1 f x cos 2x 3 sin 2 x 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f x 的最大值为 13 2 最小正周期 2 2 c f 13 sin 22 C 4 1 所以 3 sin 2 C 因为 C 为锐角 所以 3 C 又因为在 ABC 中 cosB 3 1 所以 2 sin3 3 B 所以 21132 23 sinsin sincoscossin2 32326 ABCBCBC 34 2009 山东卷文 本小题满分 12 分 设函数 f x 2 0 sinsincos 2 cossin 2 xxx在 x处取最小值 1 求 的值 2 在 ABC 中 cba 分别是角 A B C 的对边 已知 2 1 ba 2 3 Af 求角 C 解 1 1 cos 2sincos sinsin 2 f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin x 因为函数 f x 在 x处取最小值 所以sin 1 由诱导公式知sin1 因为 0 所以 2 所以 sin cos 2 f xxx 2 因为 2 3 Af 所以 3 cos 2 A 因为角 A 为 ABC 的内角 所以 6 A 又因为 2 1 ba所以由正弦定理 得 sinsin ab AB 也就是 sin12 sin2 22 bA B a 因为ba 所以 4 B或 4 3 B 当 4 B时 7 6412 C 当 4 3 B时 3 6412 C 44 2009 重庆卷文 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数 22 sincos 2cos 0 f xxxx 的最小正周期为 2 3 求 的最小正周期 若函数 yg x 的图像是由 yf x 的图像向右平移 2 个单位长度得到 求 yg x 的 单调增区间 解 2222 sincos 2cossincossin212cos2f xxxxxxxx sin2cos222sin 2 2 4 xxx 依题意得 22 23 故 的最小正周期为 3 2 依题意得 5 2sin 3 22sin 3 2 244 g xxx 由 5 232 242 kxkkZ 解得 227 34312 kxkkZ 故 yg x 的单调增区间为 227 34 312 kkkZ 3 2008 广东 已知函数 2 1 cos2 sin f xxx xR 则 f x是 A 最小正周期为 的奇函数 B 最小正周期为 2 的奇函数 C 最小正周期为 的偶函数 D 最小正周期为 2 的偶函数 答案 D 解析 2222 11 c