概率第三章习题答案.doc

习题三1、 设的分布律为求。解：由分布律的性质，得，即，解得，。注：考察分布律的完备性和非负性。2、设的分布函数为，试用表示：(1)；(2)；(3)解：根据分布函数的定义，得(1)；(2)(3)3、设二维随机变量的分布函数为，分布律如下：试求：(1)；(2)；(3)解：由的分布律，得(1) ；(2)；(3)。4、设，为随机变量，且求解。注：此题关键在于理解表示，然后再根据概率的加法公式。5、只取下列数值中的值：，且相应概率依次为。请列出的概率分布表，并写出关于的边缘分布解：（1）根据的全部可能取值以及相应概率，得的概率分布表为（2）根据的边缘分布与联合分布的关系，得所以，的边缘分布为6、设随机向量服从二维正态分布，其概率密度函数为，求解：由图形对称性，得，故。注：本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。7、设随机变量的概率密度为，（1）确定常数；（2）求；（3）求；（4）求分析：利用再化为累次积分，其中解：（1）由概率密度函数的完备性，得解得。（2）；（3）（4）。8、已知和的联合密度为，试求：（1）常数；（2）和的联合分布函数解：（1）由概率密度函数的完备性，得，解得。（2）。9、设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度解：10、设在曲线，所围成的区域内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度解：据题意知，区域的面积为，由于在区域内服从均匀分布，故的概率密度函数为。，。注：此题求解首先必须画出区域的图形。然后根据图形确定积分上下限。11、二维随机变量的分布律为（1）求的边缘分布律；（2），；（3）判定与是否独立？解：（1）由边缘分布与联合分布的关系，知所以，的边缘分布律为（2），；（3）根据二维随机变量的分布律可知其边缘分布律由于，所以与不独立。12、设随机变量的概率密度为，问：与是否相互独立?解：【法一】任意给定所以，因而与不独立。【法二】若与相互独立，则对任意，有，而，即，所以，解得，或，很显然这是不成立的，故与不是相互独立的。13、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与。据以往积累的资料知，和的联合分布律为(1)求边缘分布律；（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律解：（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得（2），8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为14、已知的分布律如表所示，求：（1）在的条件下，的条件分布律；（2）在的条件下，的条件分布律 解：根据联合分布律可得边缘分布律，如下：（1） 根据上表，可得（2） ，所以，在的条件下，的条件分布律为（3） 根据上表，可得（4） ，所以，在的条件下，的条件分布律为15、已知的概率密度函数为，求：（1）边缘概率密度函数；（2）条件概率密度函数解：（1）；（2）当时，；当时，注：此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。16、设与相互独立，其概率分布如表所示， 求的联合概率分布，解：由于与相互独立，故对任意，有，所以，的联合概率分布为17、某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7：558：00，而火车这段时间开出的时间的密度函数为，求此人能及时上火车的概率解：令7：55看作时刻0，以分为单位，故，即的概率密度函数为，而与相互独立，故的联合概率密度函数为，所以，此人能及时上火车的概率为。18、设和是两个相互独立的随机变量，（1）求与的联合概率密度；（2）设有的二次方程，求它有实根的概率解：因为，所以；因为，所以，又相互独立，所以（1）（2）所求概率为19、设随机变量与都服从分布，且与相互独立，求的联合概率密度函数。解：据题意知，由于随机变量与都服从分布，所以与的概率密度函数分别为，又由于与相互独立，即，故的联合概率密度函数为20、设随机变量与相互独立，且分别服从二项分布与，求证：证：据题意知，故与的分布律分别为，又由于与相互独立，故，。21、设随机变量和相互独立，且都等可能地取为值，求随机变量和的联合分布解：由题意，和的分布律为可见，下求（1）当时，（2）当时，（3）当时，所以得到关于，的联合分布律为22、设且，求和的联合概率分布解：由题意，所以，和的联合概率分布为23、设的联合密度函数为，求的密度函数。解：当时，当时，所以，所以24、设随机变量的概率密度为（1）问和是否相互独立？（2）求的密度函数解：（1）由、的对称性得，因为，所以和不独立。（2），由的表达形式知，当时，即当，也即时，所以，。25、设和为两个随机变量，且求解： 。 26、设随机变量的概率密度为（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度；（3）求函数的分布函数解：（1）有概率密度函数的性质，得解得，。（2）， （3）当时， 当当，所以，的分布函数为。27、设和为相互独立的两个随机变量，且服从同一分布，试证明：证：设，则，而由