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一 应掌握的基本概念 1 一定要严格区分构件的许可载荷与结构的许可载荷 每一构件都有自身的许可载荷 它是根据该构件的受力与强度条件之间的关系确定 而结构是由构件所组成 因此整个结构的许可载荷是构件许可载荷中的最小值 在具体计算和分析问题时 绝对不能先求出各构件的许可载荷 然后通过结构的平衡求整个结构的许可载荷 1 构件与结构许可载荷的计算与确定 2 一般来说 某一根构件达到许可载荷 其它构件不一定也达到各自自的许可载荷 因为各构件并不同时达到危险状态 结构的许可载荷是由最小许可载荷的结构确定的 即整个结构的安全由最薄弱的构件所控制 3 2 构件的基本变形 1 拉 压变形截面的几何性质 A刚度 EA应力公式 FN A变形公式 l FNL EA 4 2 剪切 挤压 截面的几何性质 A剪切刚度 GA剪切应力计算公式 Q A挤压应力计算公式 P A注意 剪切为实用算法 在工程联接中 剪切 挤压与拉压变形同时存在 因此必须分清那是剪切面 挤压面和受拉 压 面 5 3 扭转变形截面的几何性质 JP刚度 GJP应力公式 max T Wn变形公式 TL GJP 注意 1 Mn是内力矩 2 以上公式仅适用于圆心和空心圆轴 非圆形截面按弹性力学求解 6 4 纯弯曲截面的几何性质 Iz刚度 EIz应力公式 My Iz max M Wz变形公式 1 M EIz 7 注意 当梁上受到横向载荷作用时 严格地说 以上公式不再适用 但对于细长粱 即h L 1 5 以上公式的计算精度满足工程精度要求 但此时在梁上还存在剪应力 FSSZ Izb 8 基本变形小结 由以上可看出 四种基本变形有许多相似之处 如 刚度 材料的物理常数x截面的几何性质应力 内力 截面的几何性质相对变形 内力x长度 刚度 9 3 平面图形的几何性质 1 静矩sz zdA2 惯性矩Iz z2dA3 平行移轴公式Iz IZC b2A4 极惯矩JP 2dA5 惯性积Ixy xydA 10 4 强度理论 1 一点的应力状态研究构件内一点处所截取的微正六面体单元不同截面上应力的变化规律 当单元体上某截面上剪应力为零 该平面称为主平面 主平面上的正应力 称为主应力 主平面有三个 它们相互正交 因此主应力有三个 按由大到小记为 1 2 3 11 2 强度理论a 脆性材料的断裂理论第一强度理论 最大拉应力理论 1 b nb 第二强度理论 最大应变理论 1 2 3 b nb 12 b 塑性材料的断裂理论第三强度理论 最大剪应力理论 1 3 s ns 13 第四强度理论 形状改变比能理论 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 s ns 如果是平面应力状态 上式成为1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 s ns 14 注意 根据上述强度理论 必须根据具体问题掌握单元体的应力状态图的绘制 及主应力的计算 对于平面应力问题 主应力为 1 x y 2 x y 2 2 2 1 2 2 x y 2 x y 2 2 2 1 2 15 5 组合变形问题 组合变形分为 斜弯曲 拉弯组合变形和弯扭组合变形三类 1 求解斜弯曲问题的步骤为 a 将载荷分解到两个形心主惯性平面 b 分别求载荷引起的弯矩 c 分别求各弯矩作用下引起的应力 变形 d 求合成应力 变形 16 需要注意的几个问题 a 具体计算时 应判断各载荷分量产生的应力是拉应力还是压应力 b 正确区分平面弯曲与斜弯曲平面弯曲 梁的挠曲线是载荷作用平面内的一条曲线 斜弯曲 梁的挠曲线不再载荷作用平面内 17 挠曲线平面与铅垂面之间的夹角 和载荷作用面与铅垂面之间的夹角 两者存在如下关系 tg Iy Iz tg 如果Iy Iz 则 则为平面弯曲 若Iy Iz 则 则为斜弯曲 18 2 拉弯组合变形 当轴向载荷与横向载荷同时作用构件上 则产生拉弯组合变形 若构件的抗弯刚度较大 弯曲变形所产生的挠度远小于截面尺寸 则可采用叠加法求解 截面上任一点的正应力为 FS A My Z Iy Mz Y Iz上式中 A横截面面积 Iy Iz横截面对y z轴的惯性矩 19 3 弯扭组合变形 圆截面杆同时受到弯曲与扭转作用时 通常横截面上有弯矩My Mz和扭矩T 将弯矩合成为M My2 Mz2 1 2 危险点处的最大正应力和最大剪应力分别为 M W T Wn该点处于平面应力状态 对于塑性材料其强度条件为 20 按笫三强度理论 M2 T2 1 2 W 按笫四强度理论 M2 0 75xT2 1 2 W 对于非圆形截面 危险点处的扭转剪应力应按非圆形截面杆计算 而弯曲正应力也不应求合成弯矩 而是分别求出My Mz所对应的正应力 叠加得到总的正应力 然后按第三 第四强 21 度理论建立强度条件 即笫三强度理论 2 4 2 1 2 笫四强度理论 2 3 2 1 2 在求解具体问题时应注意如下问题 1 根据构件受力的具体情况 分解出扭矩和弯矩 22 2 对扭矩作扭矩图 对弯矩如有必要分解为水平面内弯矩和铅垂面内弯矩 并分别作弯矩图 3 将两个弯矩图按几何和进行合成 4 进行强度校核时 要对扭矩和合成弯矩最大的截面中的危险点进行校核 23 6 用能量法求变形 1 变形能计算拉 压 变形能 U 1 2 FN2 x EA dx弯曲变形能 U 1 2 M2 x EI dx扭转变形能 U 1 2 T2 x GJp dx如果积分中的任一参数是分段给出 则其积分应分段计算 24 2 莫尔积分法 单位力法 莫尔积分法是用于求指定点的位移f 转角 它需在指定点施加一单位力F0 1 m0 1 令F0 1 m0 1 引起的弯矩为M0 x 于是计算位移f 的莫尔积分为 f M x M0 x EI dx3 卡氏定理 i U pi 其中U是系统的总变形能 而pi是要求位移处的载荷 25 7 交变应力 交变应力 受载构件内一点的应力大小和 或 符号随时间呈周期性地变化 它有5个特征量 即 循环特性r max mix 平均应力 m max mix 2 应力幅值 a max mix 2 26 8 动载荷 定义 使构件内各点产生加速度的载荷称为动载荷 构件在动载荷作用下产生的应力为动应力 动荷系数kd 以Fd d d分别表示动载荷 动应力和动位移 以Fs s s分别表示静载荷 静应力和静位移 则动荷系数kd可表示为 kd Fd Fs d s d s 27 1 构件以等加速度运动时的动应力依据达朗贝尔原理将惯性力作为静载处理 根据静力平衡求内力 2 承受冲击载荷时构件的动应力忽略冲击中的能量损失 依据能量守恒 刚体冲击物在冲击过程中减少的动能T和势能V应等于被冲击物的弹性变形能Ud 即 T V Ud 28 3 自由落体冲击时的动荷系数如果 S表示重物Q以静荷作用于被冲击物体上的变形 而h表示重物与被冲击之间的距离 即重物的下落高度 那么动荷系数为 kd 1 1 2h S 1 2 29 9 压杆稳定 失稳与强度不足是两类不同的概念 强度不足是指结构处于同一平衡状态下 结构内某些部位的应力超过允许应力 而失稳是指受压构件 当载荷超过临界载荷时 构件便由原有平衡状态过渡到新的平衡状态 压杆失稳时的压力称为临界压力 其临界压力的欧拉公式为 Fcr 2EI l 2 cr 2E 2 30 其中 是与支座有关的系数 两端铰支 1 两端刚固 0 5 一端铰支另一端固定 0 7 一端自由另一端固定 2 l I 而i I A 1 2 31 注意 1 此处I应为杆件横剖面的最小惯性矩 2 是杆件的柔度系数 根据 的数值不同 可以将压杆分为细长杆 中长杆和短压杆 细长杆用欧拉公式计算临界应力 这时 cr F 这种杆只发生失稳破坏而不会发生强度破坏 反之 短杆只发生强度破坏而不发生失稳破坏 因为若用欧拉公式计算 这种短杆的临界应力已经超过了屈服极限或强度极限 32 最复杂的是介于上述两种情况之间的中等柔度杆 它既有强度破坏的性质又有较明显的失稳现象 通常是根据实验数据来处理这类问题 有各种不同的经验公式 直线经验公式是最简单实用的一种 必须注意 上述三种不同柔度杆的划分 其分界点的 值对不同材料是不同的 直线公式的系数也因材料不同而异 详见相关教材 注意 在计算压杆失稳问题时 必须先要计算 值 然后方能确定用什么公式计算失稳临界力 33 临界力计算的步骤 34 10 超静定问题 未知力数目多于静力平衡方程数目的弹性系统称为超静定系统 静不定次数 未知力数目 静力平衡方程数目 35 一 分析的基本步骤1判别结构的静不定次数 2放松多余的内外约束 将静不定结构转化为静定的基本结构 简称静定基 静定基必须是几何不可动的 仍能承受外载荷作用 3按多余内外约束的实际变形情况写出变形协调条件 静定基必须和静不定结构的变形一致 并建立补充方程 4将平衡方程和补充方程联立求解 36 二 对称性的利用所谓对称性是指载荷与结构均对称 定理一 对称载荷作用在对称的结构上 在结构的对称平面内反对称的内力一定为零 即轴力和剪力为零 根据该定理 在对称面就可以将结构简化为可上下滑动的固定端 这样就可以只取结构一半进行计算 37 定理二 反对称载荷作用在对称的结构上 在结构的对称平面内对称的内力一定为零 即弯矩为零 根据该定理 在对称面就可以将结构简化为简支座 这样也可以只取结构一半进行计算 38 二综合应用问题 1 静载与动载相结合 2 强度问题与稳定问题相结合 3 基本变形的组合 4 静载变形与温度载荷相结合 5 静载变形与安装偏差相结合 6 强度问题与变形问题相结合 39 材料力学例题分析 三 40 一 图示铸铁T型截面梁 已知 Iz 7 65 106mm4 材料的许用拉应力 t 40MPa 许用压应力 C 60MPa 试确定此梁的许用负荷P 41 42 二 绘C B截面的应力分布图 43 三 确定许用荷载P 44 45 二 图示结构 CD杆的直径d 40mm E 2 105MPa p 100 试求结构的临界荷载 46 解 一 确定CD杆的临界力 CD杆为细长压杆 可由欧拉公式计算其临界力 47 二 求结构的临界荷载 由结构的平衡条件得 48 三 重物Q从高度H处自由下落在图示结构B处 求 梁内最大动应力 C截面的挠度 AC梁抗弯模量W1 是CD梁抗弯模量W2 的倍 49 解 一 求C处约束力 50 二 求动荷载系数KD a 冲击点B处的静位移 b 动荷载系数KD 51 三 梁内最大动应力 梁内最大动应力为 52 四 C处的挠度 C处静位移为 C处动位移为 53 四 图示托架中 已知圆截面杆DC的直径d 100mm 材料E 1 104MPa P 8MPa 试求托架的临界荷qcr 54 解 一 确定CD杆的临界力 CD杆的临界力计算式可用欧拉公式 其临界力为 55 二 求结构的临界荷载qcr 56 五 相同两梁 受自由落体冲击 已知弹簧刚度 动荷系数 求图示两种情况下的动荷系数之 比及最大动应力之比 57 解 一 图a为超静定问题 58 2 求动荷系数和最大动应力 59 二 求图b梁的动荷系数和最大动应力 60 三 两种情况下的动荷系数之比和最大动应力之比 动荷系数之比 最大动应力之比 61 六 图示钢制实心圆轴 其齿轮C上作用铅直切向力5KN 径向力1 82KN 齿轮D上作用有