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二项式定理 高二 26 主讲 林根新 数学趣题 今天是星期一 再过62008天后是星期几 你知道吗 思考 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 由这些式子试猜想 a b 4展开后的结果 它们的各项是什么呢 a b 5 呢 这里有规律吗 因为 a b 3 a b a b a b 对 a b 3展开式进行分析 每一项怎么来的 展开时 每个括号中要么取a 要么取b 而且只能取一个来相乘得项 所以展开后其项的形式有 a3 a2b ab2 b3 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有1种 即c30 所以a3的系数为c30 因为恰有1个取b的情况有c31种 所以a2b的系数为c31 因为恰有2个取b的情况有c32种 所以ab2的系数为c32 因为恰有3个取b的情况有c33种 所以b3的系数为c33 故 a b 3 c30a3 c31a2b c32ab2 c33b3 因为恰有4个取b的情况有c44种 所以b4的系数为c44 a b 4 c40a4 c41a3b c42a2b2 c43ab3 c44b4 因为 a b 4 a b a b a b a b 对 a b 4展开式进行分析 每一项怎么来的 展开时 每个括号中要么取a 要么取b 而且只能取一个来相乘得项 所以展开后其项的形式有 a4 a3b a2b2 ab3 b4 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有1种 即c40 所以a4的系数为c40 因为恰有1个取b的情况有c41种 所以a3b的系数为c41 因为恰有2个取b的情况有c42种 所以a2b2的系数为c42 因为恰有3个取b的情况有c43种 所以ab3的系数为c43 分析 a b n的展开式 每一项怎么来的 因为恰有n个取b的情况有cnn种 所以b4的系数为cnn 因为 a b n 展开时 每个括号中要么取a 要么取b 而且只能取一个来相乘得项 所以展开后其项的形式有 an an 1b an 2b2 bn 最后结果要合并同类项 所以项的系数为就是该项在展开式中出现的次数 可计算如下 因为每个都不取b的情况有1种 即cn0 所以an的系数为cn0 因为恰有1个取b的情况有cn1种 所以an 1b的系数为cn1 因为恰有2个取b的情况有cn2种 所以an 2b2的系数为cn2 二项展开式定理 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 其中cnran r
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