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求曲线的方程 2020年3月3日星期二 修远中学梁成阳 复习回顾 曲线的方程和方程的曲线的概念 在直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解满足下列系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 这个方程叫做曲线的方程 这个曲线叫做方程的曲线 求曲线方程的一般步骤 1 建系 建立适当的坐标系 用m x y 表示曲线上任意一点 几何列式 写出满足条件的点 的集合 m 代数方程 将 点坐标 x y 代入几何条件 列出方程f x y 0 4 化简 化方程为最简形式 证明 验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹 方程 这个方法又叫相关点法或坐标代换法 即利用动点p x y 是定曲线f x y 0上的动点 另一动点p x y 依赖于p x y 那么可寻求关系式x f x y y g x y 后代入方程f x y 0中 得到动点p的轨迹方程 一 转移代入法 例1 已知点a 3 0 点p在圆x2 y2 1的上半圆周上 即y 0 aop的平分线交pa于q 求点q的轨迹方程 例1 已知点a 3 0 点p在圆x2 y2 1的上半圆周上 即y 0 aop的平分线交pa于q 求点q的轨迹方程 已知 abc a 一2 0 b 0 一2 第三个顶点c在曲线y 3x2 1上移动 求 abc的重心的轨迹方程 同类变式 二 几何法 就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 例2 已知线段labl a 端点a在x轴正半轴上 包括原点 运动 端点b在射线l x o 上运动 过点a且垂直于x轴的直线与过点b且垂直于直线l的直线相交于p 求p点的轨迹方程 求出轨迹方程后 注意考查曲线的完备性和纯粹性 以防 疏漏 和 不纯 本例容易漏掉0 x a y 0 同类变式 线段ab长为a b 其中a 0 b 0 其两端点a b分别在x轴 y轴上 p为ab上的一个定点 且 bp a 求当a b分别在两轴上滑动时点p的轨迹方程 三 参数法 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别表示动点的坐标x和y 间接地把坐标x和y联系起来 得到用参数表示的方程 如果消去参数 就可以得到轨迹的普通方程 例3 在边长为a的正方形abcd中 ab bc边上各有一个动点q r 且 bq cr 试求直线ar与dq的交点p的轨迹方程 解析建立直角坐标系后 注意到 bq cr 即 aq br 而p为两直线ar与dq的交点因而应引进参数 用参数法求其轨迹方程 例3 在边长为a的正方形abcd中 ab bc边上各有一个动点q r 且 bq cr 试求直线ar与dq的交点p的轨迹方程 导学p58 10 11 思考题 求
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