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文档简介

数学归纳法 基本知识 1 数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 2 数学归纳法的基本思想 即先验证使结论有意义的最小的正整数n0 如果当k n0时 命题成立 再假设当n k k n0 k n 时 命题成立 这时命题是否成立不是确定的 根据这个假设 如能推出当n k 1时 命题也成立 那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0 1 n0 2 命题都成立 3 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤 1 证明 当n取第一个值n0结论正确 2 假设当n k k n 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 1 用数学归纳法证题要注意下面几点 证题的两个步骤缺一不可 要认真完成第一步的验证过程 成败的关键取决于第二步对的证明 1 突破对 归纳假设 的运用 2 用好命题的条件 3 正确选择与命题有关的知识及变换技巧 中学教材内 用数学归纳法证明的问题的主要题型有 等式问题 整除问题 不等式问题 等 要积累这几种题型的证题经验 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 基础题 1 已知n为正偶数 用数学归纳法证明 时 若已假设为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 a 时等式成立 b 时等式成立 c 时等式成立 d 时等式成立 2 设 c 3 用数学归纳法证明 时 由 的假设到证明 时 等式左边应添加的式子是 b a 4 用数学归纳法证明 时 从 时 左边应增添的式子是 a 5 某个命题与正整数n有关 如果当 时命题成立 那么可推得当 时命题也成立 现已知当 那么可推得 a 当n 6时该命题不成立b 当n 6时该命题成立c 当n 4时该命题不成立d 当n 4时该命题成立 时该命题不成立 典型例题选讲 例1 用数学归纳法证明等式问题 例 用数学归纳法证明整除问题 求证 被6整除 例 优化设计p202例1 比较2n与n2的大小 例4 优化 202例题 是否存在常数使a b c使等式 对一切正整数n成立 证明你的结论 例5 优化设计p202例3 设 为常数 且 证明 小结 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 明确首取值n0并验证真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分
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