3.1.2导数的概念.ppt

1 1 1变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度 变化率问题 问题1气球膨胀率 在吹气球的过程中 可发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学的角度 如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 若将半径r表示为体积V的函数 那么 当空气容量V从0L增加到1L 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2L 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态 那么 在0 t 0 5这段时间里 在1 t 2这段时间里 计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题 探究 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 定义 平均变化率 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 令 x x2 x1 y f x2 f x1 则 理解 1 式子中 x y的值可正 可负 但的 x值不能为0 y的值可以为02 若函数f x 为常函数时 y 03 变式 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 f x2 f x1 直线AB的斜率 练习 1 甲用5年时间挣到10万元 乙用5个月时间挣到2万元 如何比较和评价甲 乙两人的经营成果 2 已知函数f x 2x 1 g x 2x 分别计算在下列区间上f x 及g x 的平均变化率 1 3 1 2 0 5 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及临近一点B 1 x 2 y 则 y x A3B3 x x 2C3 x 2D3 x D 2 求y x2在x x0附近的平均速度 2x0 x 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 y f x2 f x1 2 计算平均变化率 一 复习 1 平均变化率 平均变化率的几何意义 割线的斜率 理解 1 式子中 x y的值可正 可负 但的 x值不能为0 y的值可以为02 若函数f x 为常函数时 y 03 变式 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 y f x2 f x1 2 计算平均变化率 1 1 2导数的概念 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 求 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 当 t 0 01时 当 t 0 01时 当 t 0 001时 当 t 0 001时 当 t 0 0001时 当 t 0 0001时 t 0 00001 t 0 00001 t 0 000001 t 0 000001 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 当 t趋近于0时 即无论t从小于2的一边 还是从大于2的一边趋近于2时 平均速度都趋近与一个确定的值 13 1 从物理的角度看 时间间隔 t 无限变小时 平均速度就无限趋近于t 2时的瞬时速度 因此 运动员在t 2时的瞬时速度是 13 1 表示 当t 2 t趋近于0时 平均速度趋近于确定值 13 1 从2s到 2 t s这段时间内平均速度 探究 1 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示 2 函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般方法 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 口诀 一差 二化 三极限 题1将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 解 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 所以 同理可得 在第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率分别为 3和5 它说明在第2h附近 原油温度大约以3 h的速率下降 在第6h附近 原油温度大约以5 h的速率上升 应用 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h