高中数学第二章第三节2.3等差数列前n项课件必修5.ppt

2 3等差数列的前n项和 学习目标 1 掌握等差数列的前n项和公式 对前n项和公式能进行简单应用 2 掌握前n项和公式的推导方法 3 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和 重点难点 重点 等比数列前n项和公式的推导与应用 难点 前n项和公式的推导思路的寻找 注意理论来源于实践而用于实践 高斯 gauss 1777 1855 德国著名数学家 他研究的内容涉及数学的各个领域 是历史上最伟大的数学家之一 被誉为 数学王子 有一次 老师与高斯去买铅笔 在商店发现了一个堆放铅笔的v形架 v形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放100支 老师问 高斯 你知道这个v形架上共放着多少支铅笔吗 创设情景 问题就是 计算1 2 3 99 100 高斯的算法 计算 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组 第一个数与最后一个数一组 第二个数与倒数第二个数一组 第三个数与倒数第三个数一组 每组数的和均相等 都等于101 50个101就等于5050了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算 迅速准确得到了结果 首尾配对相加法 中间的一组数是什么呢 若v形架的的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多放一支 最上面一层有很多支铅笔 老师说有n支 问 这个v形架上共放着多少支铅笔 创设情景 问题就是 1 2 3 n 1 n 若用首尾配对相加法 需要分类讨论 三角形 平行四边形 n n 1 n 2 2 1 倒序相加法 那么 对一般的等差数列 如何求它的前n项和呢 前n项和 分析 这其实是求一个具体的等差数列前n项和 问题分析 已知等差数列 an 的首项为a1 项数是n 第n项为an 求前n项和sn 如何才能将等式的右边化简 已知等差数列 an 的首项为a1 项数是n 第n项为an 求前n项和sn 各项组成新的等差数列 倒序相加法 求和公式 等差数列的前n项和的公式 思考 1 公式的文字语言 2 公式的特点 不含d 可知三求一 想一想 在等差数列 an 中 如果已知五个元素a1 an n d sn中的任意三个 请问 能否求出其余两个量 结论 知三求二 公式的记忆 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式 a1 an 公式的记忆 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式 a1 n 1 d a1 an 将图形分割成一个平行四边形和一个三角形 公式应用 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 an 的sn 1 a1 5 an 95 n 10 2 a1 100 d 2 n 50 练一练 500 2550 例1 计算 1 5 6 7 79 80 2 1 3 5 2n 1 3 1 2 3 4 5 6 2n 1 2n n 例题讲解 n2 3230 提示 n 76 法二 例题讲解 例2 2000年11月14日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的通知 某市据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从2001年起用10年的时间 在全市中小学建成不同标准的校园网 据测算 2001年该市用于 校校通 工程的经费为500万元 为了保证工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元 那么 从2001年起的未来10年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 分析 找关键句 求什么 如何求 解 由题意 该市在 校校通 工程中每年投入的资金构成等差数列 an 且a1 500 d 50 n 10 故 该市在未来10年内的总投入为 答 变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形 最上面一层铺瓦片21块 往下每一层多铺1块 斜面上铺了19层 共铺瓦片多少块 解 由题意 该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列 an 且a1 21 d 1 n 19 于是 屋顶斜面共铺瓦片 答 屋顶斜面共铺瓦片570块 课堂练习 答案 27 练习1 练习2 等差数列 10 6 2 2 的前 项的和为54 答案 n 9 或n 3 舍去 练习 p462 课堂小结 1 等差数列前n项和的公式 2 等差数列前n项和公式的推导方法 倒序相加法 3 公式的应用 知五求二 上页 下页 两个 2 3等差数列的前n项和 2 学习目标 1 理解关系 2 理解关系3 能利用公式及其性质求一些特殊数列的和 复习回顾 1 等差数列前n项和sn公式的推导2 等差数列前n项和sn公式 an a1 n 1 d 说明 两个等差数列的求和公式及通项公式 一共涉及到5个量 通常已知其中3个 可求另外2个 倒序相加法 例题讲解 例1 已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 由此可以确定求其前n项和的公式吗 解 由于s10 310 s20 1220 将它们代入公式 可得 所以 例题讲解 例1 已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 由此可以确定求其前n项和的公式吗 另解 两式相减得 变题1 已知等差数列 an 的前m项的和是30 前2m项的和是100 求前3m项的和 仍成等差数列 其公差为k2d 变式2 等差数列 an 中 s4 1 s8 4 求a9 a10 a11 a12 例2 若数列 an 的前n项和 an 是否为等差数列 若是 它的首项和公差分别是什么 变式 数列 an 的前n项和 an 是否为等差数列 若是 给予证明 若不是 说明理由 证明 所以数列 an 是一个首项是3 2 公差为2的等差数列 反思公式 思考 当首项 公差确定时 sn的结构有什么特征 2 当d不为0时 点 n sn 是在常数项为0的一个二次函数的图象上 结论1 an 为等差数列 这是一个关于的没有的 sn an2 bn 常数项 二次函数 注意a还可以是0 n 例3 己知等差数列5 4 3 的前n项和为sn 求使得sn最大的序号n的值 解 由题意知 等差数列5 4 3 的公差为 所以sn 2 5 n 1 n 2 练习 1 求集合的元素个数 并求这些元素的和 解 由得