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文档简介

2 3 1等比数列 中国人民大学附属中学 生活中的数列 放射性物质镭的半衰期为 年 如果从现有的 克镭开始 每隔 年 剩余量依次为 10000 1 05 10000 1 052 10000 1 053 10000 1 055 某人年初投资 元 如果年收益率为 那么按照复利 年内各年末的本利和依次为 再看两个数列 3 9 27 81 它们的共同特点是 从第二项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 等比数列的定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 等比数列的定义 2 或 1 例1 已知数列 an 的通项公式为an 3 2n 试问这个数列是等比数列吗 解 因为当n 2时 所以数列 an 是等比数列 等比数列的通项公式 如果等比数列 an 的首项是a1 公比是q 那么根据等比数列的定义得到 当n 2时 等比数列的通项公式为 等比中项 如果三个数x g y组成等比数列 则g叫做x和y的等比中项 如果g是x和y的等比中项 那么 即g2 xy 显然两个正数 或两个负数 的等比中项有两个 它们互为相反数 一个正数和一个负数没有等比中项 在一个等比数列中 从第2项起 每一项 有穷数列的末项除外 都是它的前一项与后一项的等比中项 等比数列的通项公式还可以写成 an a1qn 1 当q是不为1的正数时 它是一个非零常数与一个指数函数的乘积 等比数列的图象 1 数列 1 2 4 8 16 等比数列的图象 2 数列 等比数列的图象 3 数列 4 4 4 4 4 4 4 数列 1 1 1 1 1 等比数列的图象 例2 已知等比数列 an 的公比为q 第m项为am 试求其第n项 解 由等比数列的通项公式可知 两式相除得 因此 例3 已知等比数列 an 中 a5 20 a15 5 求a20 解 由a15 a5q10 得 所以 因此 或 例4 在4与之间插入3个数 使这5个数成等比数列 求插入的3个数 解 依题意 a1 4 由等比数列通项公式得 所以 因此插入的3个数依次是2 1 或 2 1 1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 求它的第1项与第2项 练习 2 数列1 37 314 321 中 398是这个数列的 a 第13项 b 第14项 c 第15项 d 不在此数列中 c 3 若数列 an 是等比数列 公比为q 则下列命题中是真命题的是 a 若q 1 则an 1 an b 若0 q 1 则an 1 an c 若q 1 则sn 1 sn d 若 1 q 0 则 d 4 在2与6之间插入n个数 使它们组成等比数列 则这个数列的公比为 a b c d c 5 若x 2x 2 3x 3是一个等比数列的连续三项 则x的值为 a 4 b 1 c 1或4 d 1或 4 a 6 三个正数a b c成等比数列 且a b c 62 lga lgb lgc 3 则这三个正数
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