2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版第三册.doc

第1课时半角的正弦、余弦和正切学 习 目 标核 心 素 养1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程(一般)2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明(重点、难点)1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.半角公式sin，cos，tan.思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？提示(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号(2)若给出角的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号1.若cos ，(0，)，则cos 的值为()abcdc由题意知，cos 0，cos .2.下列各式与tan 相等的是()abc dd|tan |；tan ；tan .3.设(，2)，则等于_sin .(，2)，sin 0，故原式sin .化简问题【例1】已知，求的值思路探究解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简解原式，cos 0.原式cos .要熟记一些可用公式的形式，如：1cos 2 cos2，1cos 2 sin2，1sin 等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路1.已知2，试化简：.解2，0sin，1cos，从而sincos0，sincos0.原式2sin .求值问题【例2】已知|cos |，且3，求sin ，cos ，tan 的值思路探究求解由3，且|cos |可知，cos ，.由sin2，sin .由cos2，cos .tan 2.已知的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2，cos2，tan 来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求的范围. 2.已知sin cos ，450540，求sin 及tan 的值解1sin ，sin ，sin cos ，解得tan 2或tan .450540，2251，tan 2.综上可知sin ，tan 2.三角恒等式的证明【例3】(1)求证：12cos2cos 22.(2)求证：.思路探究(1)可由左向右证：先把左边cos2 降幂化为同角后整理可证(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化证明(1)左边12cos 22右边所以原等式成立(2)左边右边所以原等式成立三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立3.已知0，00)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性思路探究利用三角公式化简函数式，写为f(x)asin(x)b的形式，再讨论函数的性质解(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2 x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即0，sin .2.已知sin cos ，则sin 2的值等于()abc dc由sin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.3.函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期t.4求证：.证明原式可变形为1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，式右边(12cos22