2017_18学年高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程学案含解析.docx

41.2圆的一般方程提出问题已知圆心(2,3)，半径为2.问题1：写出圆的标准方程提示：(x2)2(y3)24.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，x2y24x6y90.问题3：方程x2y24x6y130是否表示圆？提示：配方化为(x2)2(y3)20，不表示圆问题4：方程x2y2DxEyF0一定表示圆吗？提示：不一定导入新知1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为 .化解疑难1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2，y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项2对方程x2y2DxEyF0的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆圆的一般方程的概念辨析例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.类题通法形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆；(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解活学活用下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.圆的一般方程的求法例2已知ABC的三个顶点为A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解法一：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二：kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形，外心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.类题通法应用待定系数法求圆的方程时的两个注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.活学活用求经过点A(2，4)且与直线x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.圆与x3y260相切，1，即E3D360.(2，4)，(8,6)在圆上，2D4EF200，8D6EF1000.联立，解得D11，E3，F30，故所求圆的方程为x2y211x3y300.代入法求轨迹方程例3已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9. 将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)类题通法用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用过点A(8,0)的直线与圆x2y24交于点B，则AB中点P的轨迹方程为_答案：(x4)2y21典例(12分)已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹解题流程活学活用一动点M到点A(4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹解：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|2|MB|，即2，整理得x2y28x0，即所求动点的轨迹方程为x2y28x0.随堂即时演练1圆(x1)(x2)(y2)(y4)0的圆心坐标和半径长分别为()A(1,2)，2B(1，1)，1C.，3 D.，答案：D2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1)B(3，)C(，1)(3，)D.答案：A3方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a_，b_，c_.答案：2444设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则P点的轨迹方程是_答案：(x1)2y225求过点(1,1)，且圆心与已知圆x2y26x8y150的圆心相同的圆的方程答案：x2y26x8y0课时达标检测一、选择题1圆的方程是x2y2kx2yk20，当圆的面积最大时，圆心的坐标是()A(1,1)B(1，1)C(1,0) D(0，1)答案：D2已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216Dx2(y1)216答案：B3当a取不同的实数时，由方程x2y22ax2ay10可以得到不同的圆，则()A这些圆的圆心都在直线yx上B这些圆的圆心都在直线yx上C这些圆的圆心都在直线yx或直线yx上D这些圆的圆心不在同一条直线上答案：A4如果圆x2y2axbyc0(a，b，c不全为零)与y轴相切于原点，那么()Aa0，b0，c0Bbc0，a0Cac0，b0Dab0，c0答案：B5已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4C8 D9答案：B二、填空题6已知圆C：x2y22x2y30，AB为圆C的一条直径，若点A的坐标为(0,1)，则点B的坐标为_答案：(2，3)7已知圆C：x2y22xay30(a为实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则a_.答案：28已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且AB6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_答案：(x1)2(y1)29三、解答题9已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解：圆心C，圆心在直线xy10上，10，即DE2.又半径长r，D2E220.由可得或又圆心在第二象限，0即D0，0即E0，圆M为ABC的外接圆(1)