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第二章推理与证明 归纳推理 2 1合情推理与演绎推理 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 偶数 奇质数 奇质数 观察 左边的事实你能发现什么结论 6 3 3 8 3 5 10 3 7 5 5 12 5 7 14 16 2 4 猜想 其他偶数是否有类似的结论 哥德巴赫 并没有发现反例 数学皇冠上的明珠 哥德巴赫猜想 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的 称为陈氏定理 任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和 而后者仅仅是两个质数的乘积 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 1 2 的形式 数学史料 高斯说 发现和创新比命题论证更加重要 因为一旦抓住真理后 补行证明往往是时间问题 猜想 铜能导电 铁能导电 铝能导电 金能导电 铜 铁 铝 金是金属 所有的金属能导电 猜想 1 2 猜想 都是质数 3 猜想 这就是著名的费马猜想 归纳推理的定义 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般性的结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 构建数学 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 以下推理有什么共同特征 部分个别 全部一般 观察下面的具体事实 你能归纳得出什么结论 思考1 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正五边形 圆内接正n边形可以用尺规作图完成 圆内接正六边形 它们都可以用尺规作图完成 归纳 1 由三角形内角和是180o 凸四边形的内角和是360o 凸五边形的内角和是540o 猜想 凸n边形的内角和是 练习 n 2 180o 12345 例1 填空 观察下图 可以发现 前n个连续的正奇数相加 观察图象 发现奥秘 由上述具体事实能得出的结论是 n的平方 发现部分规律特征 实验 观察 猜测一般性结论 3 2004春季上海 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第n个图形中有个点 1 2 3 4 5 费马猜想 都是质数 于是他归纳推理提出猜想 归纳的风险 但归纳推理可以发现新事实 获得新结论 可以为我们的研究提供一种方向 过去有个财主不识字 请了一位老师来教他儿子识字 写上一划时 老师告诉他这是 一 字 写上二划时 告诉他这是 二 字 三划就是 三 字 财主的儿子听了 扔下笔高兴得跳起来说 识字很简单 何必要请老师呢 财主信以为真就把老师辞退了 隔了几天 财主请一位姓万的朋友来家吃饭 叫儿子写个请柬 财主的儿子一早就动笔写 大半天还没有写成 财主着急得很 接连去催他 财主的儿子很不耐烦地说 姓啥不好 偏偏要姓万 我从早上到现在 才写了五百多划哩 开心一刻 他聪明吗 让我们为追求更理性的数学活动而努力 1 归纳推理 全部一般 部分个别 2 你能举出更多归纳推理的例子吗 蚂蚁搬家 大雨哗哗 农谚 燕子低飞 必有雨水 生活 数学 4 已知数列 an 的前n项和sn 且计算s1 s2 s3
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