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文档简介

3 1 1平均变化率 微积分主要与四类问题的处理相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载 一 问题情境1 观察 3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化 用曲线图表示为 注 3月18日为第一天 问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 问题2 如何量化 数学化 曲线上升的陡峭程度 1 曲线上bc之间一段几乎成了 直线 由此联想如何量化直线的倾斜程度 2 由点b上升到c点 必须考察yc yb的大小 但仅仅注意yc yb的大小能否精确量化bc段陡峭程度 为什么 在考察yc yb的同时必须考察xc xb 函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变 3 我们用比值近似地量化b c这一段曲线的陡峭程度 并称该比值为 32 34 上的平均变化率 4 分别计算气温在区间 1 32 32 34 的平均变化率 现在回答问题1 气温陡增 是一句生活用语 它的数学意义是什么 形与数两方面 吹气球时 会发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 能从数学的角度解释这一现象吗 解 可知 v r r3 即 r v 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 气球平均膨胀率 问题情境2 当空气容量 从 加 时 半径增加了 r r 0 气球平均膨胀率 可以看出 随着气球体积变大 它的平均膨胀率变小 思考 当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少呢 问题情境2 你还能举出其它的与平均变化率有关的例子吗 一般地 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率为 二 建构数学 平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是 粗糙不精确的 但应注意当x2 x1很小时 这种量化便有 粗糙 逼近 精确 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示 试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率 例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙 ts后容器甲中水的体积 单位 计算第一个10s内v的平均变化率 甲 乙 例3 已
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