2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.5 离散型随机变量及其分布列教学案 苏教版.doc

第五节离散型随机变量及其分布列最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用1随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母x，y，表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，以表格的形式表示如下：xx1x2xixnpp1p2pipn此表称为离散型随机变量x的概率分布列，简称为x的分布列有时也用等式p(xxi)pi，i1,2，n表示x的分布列(2)分布列的性质pi0，i1,2,3，n；pi1.3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量x服从两点分布，则其分布列为x01p1pp其中pp(x1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则p(xk)，k0,1,2，m，其中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*，称随机变量x服从超几何分布x01mp一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量x的分布列由下表给出，则它服从两点分布()x25p0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数x服从超几何分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设随机变量x的分布列如下：x12345pp则p为()a.b.c.d.c由分布列的性质知，p1，p1.2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则p(1)等于()a. b. c. d.dp(1)1p(2)1.3有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数x的所有可能取值是 0,1,2,3因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数x的可能取值为0,1,2,3.4从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有x个红球，则随机变量x的分布列为 x012p0.10.60.3因为x的所有可能取值为0,1,2，p(x0)0.1，p(x1)0.6，p(x2)0.3，所以x的分布列为x012p0.10.60.3考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量x所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率1.随机变量x的分布列如下：x101pabc其中a，b，c成等差数列，则p(|x|1) ，公差d的取值范围是 因为a，b，c成等差数列，所以2bac.又abc1，所以b，所以p(|x|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，所以d.2设随机变量x的分布列为pak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求p；(3)求p.解(1)由分布列的性质，得ppppp(x1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)pppp(x1)345.(3)pppp. 由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验教师备选例题设离散型随机变量x的分布列为x01234p0.20.10.10.3m(1)求随机变量y2x1的分布列；(2)求随机变量|x1|的分布列；(3)求随机变量x2的分布列解(1)由分布列的性质知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为：x012342x113579从而y2x1的分布列为y13579p0.20.10.10.30.3(2)列表为x01234|x1|10123p(0)p(x1)0.1，p(1)p(x0)p(x2)0.20.10.3，p(2)p(x3)0.3，p(3)p(x4)0.3.故|x1|的分布列为0123p0.10.30.30.3(3)首先列表为x01234x2014916从而x2的分布列为014916p0.20.10.10.30.3考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求x的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件a，p(a).(2)x的可能取值为200,300,400.p(x200)，p(x300)，p(x400)1p(x200)p(x300)1.故x的分布列为x200300400p求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”教师备选例题一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为x，求随机变量x的分布列解(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为p11.(2)由题意知，x的可能取值为1,2,3,4，且p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).所以随机变量x的分布列是x1234p袋子中有1个白球和2个红球(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数x的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数x的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数x的分布列解(1)x可能取值1,2,3.p(x1)，p(x2)，p(x3).所以x分布列为x123p(2)x可能取值为1,2,3,4,5.p(xk)，k1,2,3,4，p(x5).故x分布列为x12345p(3)因为xb，所以x的分布列为p(xk)ck，k0,1,2,3,4,5.x012345p考点3超几何分布求超几何分布的分布列的步骤 端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列解(1)令a表示事件“三种粽子各取到1个”，则p(a).(2)x的所有可能值为0,1,2，且p(x0)，p(x1)，p(x2).综上知，x的分布列为x123p母题探究1在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率解由题意知，至少有一个豆沙粽的概率pp(x1)p(x1)p(x2).2若本例中的x表示取到的粽子的种类，求x的分布列解由题意知x的所有可能值为1,2,3，且p(x1)，p(x3)，p(x2)1p(x1)p(x3)1.综上可知，x的分布列为x123p 超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型教师备选例题(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用x表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量x的分布列；设a为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件a发生的概率【解】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3.p(xk)(k0,1,2,3)则p(x0)，p(x1)，p(x3)，则p(x2)1，所以，随机变量x的分布列为x0123p设事件b为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件c为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则abc，且b与c互斥由知，p(b)p(x2)，p(c)p(x1)，故p(a)p(bc)p(x2)p(x1).所以，事件a发生的概率为.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数x的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为c，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为cc，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为p(xk)，k0,1,2,3.所以随机变量x的分