与椭圆有关的最值问题.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1定义法F2F1M1M2例1。P(-2,),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值。分析：欲求MP+MF2的最大值和最小值o可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义MF2=2a-MF1, F1为椭圆的左焦点。解：MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知PF1MP-MF1PF1当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10, PF1=2所以（MP+MF2）max=12, （MP+MF2）min=8结论1：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1,最小值为2aPF1。例2：P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF2的最大值和最小值。 分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP+MF2值最小，求最大值方法同例1。解：MP+MF2=MP+2a-MF1连接PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时MP-MF1取最大值PF1。MP+MF2最大值是10+，最小值是。结论2：设椭圆的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则MP+MF2的最大值为2a+PF1，最小值为PF2。2.二次函数法例3求定点A(a,0)到椭圆上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数，求最小值。解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，PA2=(x-a)2+y2 =(x-a)2+1-2=+1-a2由椭圆方程知x的取值范围是-（1） 若a,则x=2a时PAmin=（2） 若a,则x=时PAmin=a（3） 若a,则PAmin=a+结论3：椭圆上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示MA或MB，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例4：椭圆上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。分析：若按例3那样d=转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。解：d= 令 则d= 当sin=1时,dmin=, 当sin=1时,dmax=结论4：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0 将x=2yc代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由=0解得c=, c=- 时直线m：x+2y-=0与椭圆切于点P,则P到直线l的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以dmin=c=时直线m：x+2y+=0与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以dmax=。结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,