安徽高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.2等差数列的通项公式教案.docx

2.2.2等差数列的通项公式项目内容课题 2.2.2等差数列的通项公式（共 1 课时）修改与创新教学目标一、知识与技能1.明确等差中项的概念;2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.二、过程与方法1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.教学重、难点教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学准备多媒体课件教学过程导入新课师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-a n-1=d(n2，nN *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).师 对，我再找同学说一说等差数列an的通项公式的内容是什么？生1 等差数列an的通项公式应是an=a1+(n-1)d.生2 等差数列an还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：d=an-a n-1；.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式与记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).合作探究探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？师 本题在这里要求的是什么?生 当然是要用a，b来表示数A.师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?生 由定义可得A -a=b-A，即.反之，若，则A-a=b-A,由此可以得a,A,b成等差数列.推进新课我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.方法引导等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.合作探究师 在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,qN*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.师 能把你的发现过程说一下吗？生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列an的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?生 我举常数列就可以说明了.师举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件. 例题剖析【例1】 在等差数列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？生4 因为an是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,所以可得d=a4-a3=7-2=5.又因为a9=a4+(9-4)d=7+55=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.【例2】 (课本P44的例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.师 为什么？生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?生 分别是11.2，1.2.师 好，大家计算一下本题的结果是多少?生 需要支付车费23.2元.(教师按课本例题的解答示范格式)评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.课堂练习1.在等差数列an中，(1)若a5=a,a10=b,求a15.解：由等差数列an知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.(2)若a3+a8=m,求a5+a6.解：等差数列an中，a5+a6=a3+a8=m.(3)若a5=6,a8=15,求a14.解：由等差数列an得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.从而a14=a5+(14-5)d=6+93=33.(4)已知a1+a2+a5=30,a6+a7+a10=80，求a11+a12+a15的值.解：等差数列an中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,从而(a11+a12+a15)+(a1+a2+a5)=2(a6+a7+a10),因此有(a11+a12+a15)=2(a6+a7+a10)-(a1+a2+a5)=280-30=130.2.让学生完成课本P45练习5.教师对学生的完成情况作出小结与评价.方法引导此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.课堂小结师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. (让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反