利用轴对称变换求最小值在初中数学竞赛中的应用举例.doc

利用轴对称性质求最小值（一）、课本原型：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？（二）应用和延伸：例1、如图，AOB内有一点P，在OA和OB边上分别找出M、N，使PMN的周长最小。例2、在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。求这个最小值。（三）、迁移和拓展：例1、如图，在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）（A）6a (B)5a (C)4a (D)2a 。例2.在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=_。例3、求Y= +的最小值。解：方法（）、把原函数转化为Y= + ，因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3，1）和（-3，5）的距离之和最小。方法（），如图，分别以PM=（3-X）、AM=1为边和以PN=（X+3）、BN=5为边构建使（3-X）和（X+3）在同一直线上的两个直角PAM、PNB，两条斜边的长就是PA= 和PB= ，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长，就是Y的最小值。（6）。（四）、思考与练习：1、如图（10），AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则PQR的周长最小值是_。又问当PQR周长最小时，QPR的度数=_。（1000）。2、已知点A（-2，1），点B（3，4）。在X轴上求一点P，使得PA+PB的值最小。这个最小值是_。3、（北京市竞赛题）如图（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。4、（希望杯初二数学邀请赛试题）如图（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，点E平分BC，点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是_。（因为当PE+PC最小时，AB=CD达到最大，这个最大值是）。5、（美国中学生竞赛题）如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（提示：画点A关于小河岸的对称点A1，连结A1B即为最短距离。）（A） 4+英里 （B） 16英里 （C） 17英里 （D） 18英里 6、（新蕾杯竞赛题）如图（14），正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。7、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从M点出发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线是_.（先画图，再用字母表示）。8、（温州中考题）如图（16），AB是O的直径，AB=2，OC是O的半径，OCAB，点D在上,=2，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是_。9、求式子 + 的最小值。10、在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,当四边形ABCD的周长最短时，的值为_。（因为A、B是定点且长度不变，只要使其它的三条线段的和最小，所以考虑用轴对称的方法将BC、CD、AD这三条折线拉直。画点A关于X轴的对称点A1，点B关于Y轴的对称点B1，只要求出直线A1B1的函数解析式就可以求出点C和点D 的坐标。） 11当为何值时,式子的