2021高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第2节 参数方程教学案 理 北师大版.doc

第二节参数方程最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点m0的直线与圆锥曲线相交，交点为m1，m2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦m1m2的中点t1t20；(3)|m0m1|m0m2|t1t2|.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过m0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点m0为起点，任一点m(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点m在椭圆上，对应参数t，点o为原点，则直线om的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1曲线(为参数)的对称中心()a在直线y2x上b在直线y2x上c在直线yx1上d在直线yx1上b由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上2直线(t为参数)和圆x2y216交于a，b两点，则线段ab的中点坐标为()a(3，3)b(，3)c(，3) d(3，)d将直线方程代入圆的方程，得2216，整理，得t28t120，则t1t28，4，故其中点坐标满足解得3曲线c的参数方程为(为参数)，则曲线c的普通方程为_y22x2(1x1)由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)4在平面直角坐标系xoy中，若直线l：(t为参数)过椭圆c：(为参数)的右顶点，则a_.3直线l的普通方程为xya0，椭圆c的普通方程为1，椭圆c的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3.考点1参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解1.将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)；(3)(t为参数)解(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1；当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中或(2)y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin21，0x21，2x3，所求的普通方程为2xy40(2x3)(3)因为x，y4343x.又x20,2)，所以所求的普通方程为3xy40(x0,2)2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解圆的半径为，记圆心为c，连接cp，则pcx2，故xpcos 2cos2，ypsin 2sin cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围考点2参数方程的应用1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解(1)(2019全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin110.求c和l的直角坐标方程；求c上的点到l距离的最小值(2)(2018全国卷)在平面直角坐标系xoy中，o的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与o交于a，b两点求的取值范围；求ab中点p的轨迹的参数方程解(1)因为11，且x2221，所以c的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.由可设c的参数方程为(为参数，)c上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故c上的点到l距离的最小值为.(2)o的直角坐标方程为x2y21.当时，l与o交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与o交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.l的参数方程为(t为参数，)设a，b，p对应的参数分别为ta，tb，tp，则tp，且ta，tb满足t22tsin 10.于是tatb2sin ，tpsin .又点p的坐标(x，y)满足所以点p的轨迹的参数方程是.(1)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值教师备选例题已知曲线c：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值解(1)曲线c的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线c上任意一点p(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|pa|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|pa|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|pa|取得最小值，最小值为. 1.(2018全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求c和l的直角坐标方程；(2)若曲线c截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线c的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入c的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线c截直线l所得线段的中点(1,2)在c内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2(2017全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求c与l的交点坐标；(2)若c上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线c的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而c与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故c上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.考点3极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的(1)在直角坐标系xoy中，曲线c1：(t为参数，t0)，其中0，在以o为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：2sin ，曲线c3：2cos .求c2与c3交点的直角坐标；若c1与c2相交于点a，c1与c3相交于点b，求ab的最大值(2)(2017全国卷)在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c.写出c的普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，m为l3与c的交点，求m的极径解(1)曲线c2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线c3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以c2与c3交点的直角坐标为(0,0)和.曲线c1的极坐标为方程(r，0)，其中0.因此a的极坐标为(2sin ，)，b的极坐标为(2cos ，)，所以ab|2sin 2cos |4.当时，ab取得最大值，最大值为4.(2)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y(x2)设p(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以c的普通方程为x2y24(y0)c的极坐标方程为2(cos2sin2)4(00，设方程t2cos24tsin 40的两个根为t1，t2，则t1t2，t1t2，|ab|t1t2|4，当且仅当0时，取等号故当0时，|ab|取得最小值4.1.(2019郑州摸底考试)以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴已知点p的直角坐标为(1，5)，点m的极坐标为.若直线l过点p，且倾斜角为，圆c以m为圆心、4为半径(1)求直线l的参数方程和圆c的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆c的位置关系解(1)直线l的参数方程 (t为参数)，m点的直角坐标为(0,4)，圆c的半径为4，圆c的方程为x2(y4)216，将代入，得圆c的极坐标方程为2cos2(sin 4)216，即8sin .(2)直线l的普通方程为xy50，圆心m到l的距离为d4，直线l与圆c相离2(2019衡水第三次大联考)在直角坐标系中，直线l的参数方程为 (t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为2.(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线c的直角坐标方程；(2)已知点p，设直线l与曲线c交于a，b两点，试确