2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理、余弦定理教学案 理 北师大版.doc

第六节正弦定理、余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2r.a2b2c22bccos_a；b2c2a22cacos_b；c2a2b22abcos_c变形(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；(2)abcsin asin bsin c；(3)2r.cos a；cos b；cos c2三角形常用面积公式(1)saha(ha表示边a上的高)；(2)sabsin cacsin bbcsin a；(3)sr(abc)(r为内切圆半径)1在abc中，ababsin asin b.2三角形中的射影定理在abc中，abcos cccos b；bacos cccos a；cbcos aacos b.3内角和公式的变形(1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c.4角平分线定理：在abc中，若ad是角a的平分线，如图，则.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在abc中，若sin asin b，则ab.()(3)在abc的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，abc为锐角三角形；当b2c2a20时，abc为直角三角形；当b2c2a20时，abc为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a，b，a1，则b()a2b1cdd由得b2.2在abc中，若a18，b24，a45，则此三角形有()a无解b两解c一解d解的个数不确定bbsin a24sin 4512，121824，即bsin aab.此三角形有两解3在abc中，acos abcos b，则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b，所以2a2b或2a2b，即ab或ab，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形4在abc中，a60，ac4，bc2，则abc的面积等于_2因为，所以sin b1，所以 b90，所以ab2，所以sabc222.考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角a，b与一边a，由abc及，可先求出角c及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角a，由a2b2c22bccos a，先求出a，再求出角b，c.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角a，b，c.(4)已知两边a，b及其中一边的对角a，由正弦定理可求出另一边b的对角b，由c(ab)，可求出角c，再由可求出c，而通过求角b时，可能有一解或两解或无解的情况(1)(2019全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知asin absin b4csin c，cos a，则()a6b5c4d3(2)(2019全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.设(sin bsin c)2sin2asin bsin c.求a；若ab2c，求sin c.(1)aasin absin b4csin c，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos a，6.故选a.(2)解由已知得sin2bsin2csin2asin bsin c，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos a.因为0a180，所以a60.由知b120c，由题设及正弦定理得sin asin(120c)2sin c，即cos csin c2sin c，可得cos(c60).由于0c120，所以sin(c60)，故sin csin(c6060)sin(c60)cos 60cos(c60)sin 60.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据教师备选例题(2018天津高考)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bsin aacos.(1)求角b的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2ab)的值解(1)在abc中，由正弦定理，可得bsin aasin b，又由bsin aacos，得asin bacos，即sin bcos，可得tan b.又因为b(0，)，可得b.(2)在abc中，由余弦定理及a2，c3，b，有b2a2c22accos b7，故b.由bsin aacos，可得sin a.因为ac，故cos a.因此sin 2a2sin acos a，cos 2a2cos2a1，所以，sin(2ab)sin 2acos bcos 2asin b.1.(2019全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知bsin aacos b0，则b_.bsin aacos b0，.由正弦定理，得cos bsin b，tan b1.又b(0，)，b.2在abc中，ab4，ac7，bc边上中线ad，则bc_.9设bddcx，adc，adb，在adc中，72x222xcos ，在abd中，42x222xcos()，得x，bc9.3(2019贵阳模拟)在abc中，内角a，b，c的对边a，b，c成公差为2的等差数列，c120.(1)求边长a；(2)求ab边上的高cd的长解(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos c得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得absinacbccd，所以cd，即ab边上的高cd.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin a，在rtacd中，cdacsin a5，即ab边上的高cd.考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知sin acos a0，a2，b2.(1)求c；(2)一题多解设d为bc边上一点，且adac，求abd的面积解(1)由已知条件可得tan a，a(0，)，所以a，在abc中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4.(2)法一：如图，由题设可得cad，所以badbaccad，故abd面积与acd面积的比值为1，又abc的面积为42sinbac2，所以abd的面积为.法二：由余弦定理得cos c，在rtacd中，cos c，所以cd，所以ad，dbcd，所以sabdsacd2sin c.法三：bad，由余弦定理得cos c，所以cd，所以ad，所以sabd4sindab.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解教师备选例题已知abc的面积为3，ac2，bc6，延长bc至d，使adc45.(1)求ab的长；(2)求acd的面积解(1)因为sabc62sinacb3，所以sinacb，acb30或150，又acbadc，且adc45，所以acb150，在abc中，由余弦定理得ab21236226cos 15084，所以ab2.(2)在acd中，因为acb150，adc45，所以cad105，由正弦定理得，所以cd3，又acd18015030，所以sacdaccdsinacd2(3).1.(2019全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，b，则abc的面积为_6法一：因为a2c，b6，b，所以由余弦定理b2a2c22accos b，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以abc的面积sacsin b42sin 6.法二：因为a2c，b6，b，所以由余弦定理b2a2c22accos b，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以a，所以abc的面积s266.2在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos b.(1)证明：a2b；(2)若abc的面积s，求角a的大小解(1)证明：由正弦定理得sin bsin c2sin acos b，故2sin acos bsin bsin(ab)sin bsin acos bcos asin b，于是sin bsin(ab)又a，b(0，)，故0ab，所以b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)由s，得absin c，故有sin bsin csin asin 2bsin bcos b，由sin b0，得sin ccos b.又b，c(0，)所以cb.当bc时，a；当cb时，a.综上，a或a.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用abc这个结论设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不确定b由正弦定理得sin bcos csin ccos bsin2a，sin(bc)sin2a，即sin(a)sin2a，sin asin2a.a(0，)，sin a0，sin a1，即a，abc为直角三角形母题探究1(变条件)本例中，若将条件变为2sin acos bsin c，判断abc的形状解2sin acos bsin csin(ab)，2sin acos bsin acos bcos asin b，sin(ab)0.又a，b为abc的内角ab，abc为等腰三角形2(变条件)本例中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos asin bsin c，判断abc的形状解a2b2c2ab，cos c，又0c，c，又由2cos asin bsin c得sin(ba)0，ab，故abc为等边三角形在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角a，b，c的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解1.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则abc的形状是()a直角三角形b等腰非等边三角形c等边三角形d钝角三角形c因为，所以.所以bc.又(bca)(bc