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谈谈高等数学在初等数学教学中的应用 上海科技大学楼世拓 有些中学数 学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不 大 我们却认为要把初等数学教好 不仅要学习高等数学 而且还一定要学 好 学 好 高等数学是指不仅要学习它的定理和方法 更重要的是要学习它的 观点 也即必须掌握高等数学处理问题的特点 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题 与教学 中去 众所周知 我们可以用求导数的方法来求函数的极值 用微分学中值定理来证明一些不 等式 用行 列式来求线性方程组的解 用空间解析几何来解立体几何的一些问题 可能有些 同志会说即使熟练地掌握了这些内容 也不能对中学生讲 因而在初等数学教学工作 中还 是用 不 上 但是 我们应该注 意到 学好高等数学不 仅要学会这些方法 而且要了解这些方 法的精神实质以及为什么要这样处理问题 这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思 想 我们可以用高等数学 中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧 这些方法是完全 初等 的 可以为中学生所接受的 而应用这些方法都可以将相当数量的 表面上看来完全无 关的初等数学问题用儿 乎相同的方法解出 同时也可以简化一些初等数学 中的难题的 证 明 在本文 中 我们将介绍 一类方法 供有兴趣的 同志参考 高等数学 的重要性不仅在于 它的方法在初等数学 中有广泛的应用 而且在于用高等数学 的观点往往可以揭示 为什么这样做 和 应该怎样做 从而使学生不仅知其然而且知其 所以然 我们知道 作为一个教师如果不 了解所讲授的问题中的条件提出的原因 也不知 道问题的来源 而仅仅知道每一道题该怎么做 那么 他也许难以将有关的概念讲授清楚 下面介绍证明不等式和求极值的一种方法 这种方法是完全初等 的 是 由高等数学中有 关求极值的内容引伸出来的 它将初等数 学 中表面上看来无关的大量题目统一在一种解法之 中 一不等式与极值的关系 证明不等式可以归结为证 明 或 这里是维空间的 一个向量 二 是的函数 讨论不等 式等价于证明在 的定义域中的最小值为非负 一 反之 证 明函数在维空间的子集上的最小值在 上取到 等 价于 证 明当 任 时 由此可见 我们可以把一个不等式的证明看成一个求最小值或最大值的问题 一一 二求极值的方法 函数在 达到最小值等价于从 变化到 的函数变化值 二一 是大于 或等于零的 也就是说函数值改变量 保持定号 我们可以用研究当自变量变化时 的符 号来讨论极值问题 并由此导出一种证 明不等式的初等方法 为 了叙述方便起见 这里仅以 一些习题为例 例 是二角形三个内角 试让 气 用上述观点 我们证明式 改为证 明式左边的函数 八 勺 万 丁 当 是三角形三个内角时 极大值不超过 丁 又由于当 二二 时 飞 一 只 匕 可知我们仅需要证明 的极大值点必满足 二 我们证明它的逆否命 题 即证明 当 不全相等 时 必不能取到极大值 而我们再化 为证 明 命题当 是 三角形三个内角 且 不全相等时 必可以找到 满足 是三角形三个 内角且成立 丁 我们 不妨设 沪 丁 特别取 丁气 一玄 旦一 二 曰 平 丈飞 石 广 十 万 火了飞个 夕 灿 一勺 少翎 少工 乞 乙乙 解 一 百 由积化和差公式易见式等 价 于 十自 一 直 簇 一 一 但式是成立的 可见式成立 命题得证 用上述方法还可以证明许多不等式 例如 例设 是凸四边形的四个 内角 求证 万 丁 一 丁浪五 解当 二二 例如 笋 找寻 一 究 时 厄 一 式成立等号 问题化为当 不全相等时 为凸四边形四内角且成立 一 麦 汽 一 一一 特别取 二 告 告 时 式化 为式 命题得证 用完全 同样 方法可以证 明下列命题 读者不妨 自行 证 明之 例设 是 凸六边形六个内角 求证 遥 飞一 一飞 簇舒 一 么一 若 求证 一 一 鲁 若日 丫 二 且日 求证 例例 十 日 丫 鲁 例若 是三角形三个内角 求证 一 万 十 万 十 万气斌 石乙 乙 三方法的修正 上面的证明方法是不很完善的 因为在证明中实际上用到了函数的最小值必然存在 但这一点又没有证明 尽管证明不很完善 我们还是从这里开始介绍这种方法 主 要原因为第一 有很多问题 中最小值的存在性是 由题设条件给出的 例如证明某函数的极值必在某点达到 也有些题目 最小值的存在是 易证 的例如 自变量只能取到有 限个值 这两种情况 应用上述方法是很 完整的 第二 对于其他的问题我们也可以用上述证明的 思 想 上述方法的主要想法是将不等式的证明化成极值讨论 而极值的讨论只要看自变量变 化时函数值的变化 式说明 了当为常数时 将分成两部分 而每一部分作 为变元 再算出正弦值之积 易知当两部分值相 同时 算出的乘积最大 在证 明 时我们 取 二 二 二 小 一 音 专 实际上就是应用这一原理 自变量 变成 二 一 护 时 函数等岑是增大的 用这种观点 我们 将式改写 为当要 一 一 一一 一 一 一 一 一 划 一 一 一 一一 时 一 一 而式的证 明是 很容易的 它的意义是若不 变 将 的值相互靠近时 函数 的值是放大的 应用式容易得到例的证 明 例的证明由 二 不失一般性可 设 由式 必成立 同样 由式 结合与以证得 令 一 誓 一 言 一 五于 一 夕 一 丁丁 镇 例至例都可 类似地得到证 明 四应用 上述方法在许多初等数学问题中有所应用 我们己经看到 这个方法是研究自变量改变 一一 时 函数值的变化 例如 我们可以将常见的不等式 丫 诀 石 个 乙 改写为当 时 一 一 式理解为当两个数的和为定值时 这两个数越靠近则其积越 大 用这个观点 我们 可以证 明 例若 是正实数 二 试证 一十 一 上 时 一 一一证明当 二 一 一 工 二 偏 二 权 习于 堆 以 一 丁 以宁 产 一 丁 个 产 一 毛 该 六 工 卜 二 由此证得 含 十 只有在 二 时达到最小值 命题得证 十 我们也可证明如下 由 不妨设 铭 杏由 式 一 即得式 事实上 例可以用算术平均与几何平均之关系得到证 明 尽管这里的解法不是最简单 的 但都 与前面一些问题的解法相同 我们还可以用这个方法证明一些比较复杂的不 等式 在平面几何 中证 明了在一切同底等高的三角形中 除底外另两边的平方和以等腰三角 形为最小 事实上 当底边与高固定时 另两 边的长度差越小则其平方和越小 应用这个结 论我们可以证明 例设 是三角形的三边 是它的面积 试证 了百 证 明用上面介绍的方法 我们仅需证 一一 的极小值必在等边三角形时取到 也即仅需证 明当 笋 时 可以找到另一个三角形 其三 边记为 它的面积记为成立 卫三土星少二 一竺过 土匕 一 丝亡 这个三 角形我们只要取以为底 面积与原三角形相同 也即是同底等高 的三角形 在 这些三角形中 若我们取 二 则必有 工 因此式成立 命题证毕 五进一步应用实例 应用上面方法可以证明一些条件不等式 这些不等式用一般的方法做很繁复 例 是正实数 且 中任意一个数不超过另一个数的二 倍 试求的极小值 我们先将这个问题分析一下 应用上面的方法可知当为常数时 与的数值相差越大则积越小 因此要 取到的极小值就希望使 的数值分得开一些 但由题设条件 使这些数值不能分 得过开 因此 我们立 即可以看出极小值点必须满足 同样必须满足 证明从上面分析可 见 我们仅需证明 祷 时 则不能取到最小值 我们只要取