化工应用数学.pdf

本文由y w 8p 62u p 0h 贡献 p p t 文档可能在WAP端浏览体验不佳 建议您优先选择TXT 或下载源文件到本机 查看 化工應用數學 授課教師 郭修伯 Pa r t i a l Di f f e r e n t i a t i o n a n d Pa r t i a l Di f f e r e n t i a l Eq u a t i o n s Le c t u r e 7 Ch a p t e r 8 Pa r t i a l d i f f e r e n t i a t i o n a n d P D E s Pr o b l e m s r e q u i r i n g t h e s p e c i f i c a t i o n o f m o r e t h a n o n e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e Ex a m p l e t h e c h a n g e o f t e m p e r a t u r e d i s t r i b u t i o n w i t h i n a s y s t e m Th e d i f f e r e n t i a t i o n p r o c e s s c a n b e p e r f o r m e d r e l a t i v e t o a n i n c r e m e n t a l c h a n g e i n t h e s p a c e v a r i a b l e g i v i n g a t e m p e r a t u r e g r a d i e n t o r r a t e o f t e m p e r a t u r e r i s e Pa r t i a l d e r i v a t i v e s Fi g u r e 8 1 c o n t o u r m a p f o r u If x i s a l l o w e d t o v a r y w h i l s t y r e m a i n s c o n s t a n t t h e n i n g e n e r a l u w i l l a l s o v a r y a n d t h e d e r i v a t e o f u w r t x w i l l b e t h e r a t e o f c h a n g e o f u r e l a t i v e t o x o r t h e g r a d i e n t i n t h e c h o s e n d i r e c t i o n u x y u i s a v e c t o r a l o n g t h e l i n e o f g r e a t e s t s l o p e a n d h a s a m a g n i t u d e e q u a l t o t h a t s l o p e u i u u j g r a d u x y u i u x u y d u e t o t h e c h a n g e i n y y u u w i l l c h a n g e b y x d u e t o t h e c h a n g e i n x a n d b y x u u u x y y x u d u x d x y d y u u d u d x d y y x t h e t o t a l d i f f e r e n t i a l o f u u u u d x 1 d x 2 d u In g e n e r a l f o r m x x x d x n 1 2 n Im p o r t a n t f a c t c o n c e r n i n g p a r t i a l d e r i v a t i v e Th e s y m b o l g c a n n o t b e c a n c e l l e d o u t Th e t w o p a r t s o f t h e r a t i o d e f i n i n g a p a r t i a l d e r i v a t i v e c a n n e v e r b e s e p a r a t e d a n d c o n s i d e r e d a l o n e Ma r k e d c o n t r a s t t o o r d i n a r y d e r i v a t i v e s w h e r e d x d y c a n b e t r e a t e d s e p a r a t e l y Ch a n g i n g t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s z g x y x u v y u v g g d z d x d y y x d x d u d v u v d y d u d v u v g g d z d u d v d u d v y u v v x u w r t u z z x z y u x u y u z g g u x u y u z x n z z x 1 z x 2 In g e n e r a l f o r m x u x u x u u 1 1 1 2 1 n 1 p a g e 1 In d e p e n d e n t v a r i a b l e s n o t t r u l y i n d e p e n d e n t Va p o u r c o m p o s i t i o n i s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e p r e s s u r e a n d l i q u i d c o m p o s i t i o n y f T P x Ho w e v e r b o i l i n g t e m p e r a t u r e i s a f u n c t i o n o f p r e s s u r e a n d l i q u i d c o m p o s i s i o n T g P x Th e r e f o r e f f f d y d x d T d P x T P g g d T d x d P x P f f g f f g d y d x d P x T x P T P Te m p e r a t u r e i n c r e m e n t o f a f l u i d T T T T d y d T d x d z d t y x z t d T T d x T d y T d z T y d t z d t t d t x d t To t a l t i m e d e r i v a t i v e A s p e c 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e s a m e s u r f a c e g i v e s t h e f o l l o w i n g b a l a n c e k T x k T T k t x t x Ra t e o f h e a t o u t p u t a t d i s t a n c e x x a n d t i m e t k L Ra t e o f h e a t o u t p u t a t d i s t a n c e x x a n d t i m e t t k T T k x x x x T T T T k k t k t x t x x x t x T 1 T Av e r a g e h e a t i n p u t d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l t i s k k t t x 2 t x Av e r a g e h e a t o u t p u t d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l t i s T T 1 T T k k k k x x t t x x x 2 t x x x He a t c o n t e n t o f t h e e l e m e n t a t t i m e t i s He a t c o n t e n t o f t h e e l e m e n t a t t i m e t t i s Ac c u m u l a t i o n o f h e a t i n t i m e t i s C p T x C p T T t t x p a g e 2 T C p t x t Co n s e r v a t i o n l a w T T 1 2 T k x k x t t C p t x x 2 t x x t x a s s u m i n g k i s c o n s t a n t 2T 1 3T T k 2 k 2 t C p x 2 x t t 2T 1 3T T k 2 k 2 t C p x 2 x t t t 0 k 2T T C p x 2 t k i s t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y C p t h r e e d i m e n s i o n s T k 2 T C p t Ma s s t r a n s f e r e x a m p l e A s p r a y c o l u m n i s t o b e u s e d f o r e x t r a c t i n g o n e c o m p o n e n t f r o m a b i n a r y m i x t u r e w h i c h f o r m s t h e r i s i n g c o n t i n u o u s p h a s e In o r d e r t o e s t i m a t e t h e t r a n s f e r c o e f f i c i e n t i t i s d e s i r e d t o s t u d y t h e d e t a i l e d c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n a r o u n d a n i n d i v i d u a l d r o p l e t o f t h e s p r a y u s i n g t h e s p h e r i c a l p o l a r c o o r d i n a t e Du r i n g t h e d r o p l e t s f a l l t h r o u g h t h e c o l u m n t h e d r o p l e t m o v e s i n t o c o n t a c t w i t h l i q u i d o f s t r o n g e r c o m p o s i t i o n s o t h a t a l l o w a n c e m u s t b e m a d e f o r t h e t i m e v a r i a t i o n o f t h e s y s t e m Th e c o n c e n t r a t i o n w i l l b e a f u n c t i o n o f t h e r a d i a l c o o r d i n a t e r a n d t h 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r c o e f f i c i e n t T k h T T0 x r a t e a t w h i c h h e a t i s r e m o v e d f r o m t h e s u r f a c e p e r u n i t a r e a r a t e a t w h i c h h e a t i s c o n d u c t e d t o t h e s u r f a c e i n t e r n a l l y p e r u n i t a r e a In t e g r o d i f f e r e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n Fr e q u e n t l y u s e d i n m a s s t r a n s f e r m a t e r i a l s c r o s s i n g t h e b o u n d a r y e i t h e r e n t e r s o r l e a v e s a r e s t r i c t e d v o l u m e a n d c o n t r i b u t e s t o a m o d i f i e d d r i v i n g f o r c e Ex a m p l e a s o l u t e i s t o b e l e a c h e d f r o m a c o l l e c t i o n o f p o r o u s s p h e r e s b y s t i r r e d t h e m a s a s u s p e n s i o n i n a s o l v e n t De t e r m i n e t h e c o r r e c t b o u n d a r y c o n d i t i o n a t t h e s u r f a c e o f o n e o f t h e s p h e r e s Th e r a t e a t w h i c h m a t e r i a l d i f f u s e t o t h e s u r f a c e o f a p o r o u s s p h e r e o f r a d i u s a i s c 4 a D r 2 a D i s a n e f f e c t i v e d i f f u s i v i t y a n d c i s t h e c o n c e n t r a t i o n w i t h i n t h e s p h e r e p a g e 6 If V i s t h e v o l u m e o f s o l v e n t a n d C i s t h e c o n c e n t r a t i o n i n t h e b u l k o f t h e s o l v e n t C c 2 V 4 N a D t r Fo r c o n t i n u i t y o f c o n c e n t r a t i o n c C a t r a a N i s t h e n u m b e r o f s p h e r e s a t r a 4 N a 2 D c C a d t 0 V r t Bo u n d a r y c o n d i t i o n In i t i a l v a l u e a n d b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s Nu m e r o f c o n d i t i o n s O D E t h e n u m b e r o f B C i s e q u a l t o t h e o r d e r o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n P D E n o r u l e s b u t s o m e g u i l d l i n e s e x i s t 2T T 2 x t Tw o b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e n e e d e d a t f i x e d v a l u e s o f x a n d o n e a t a f i x e d v a l u e o f t In i t i a l v a l u e o r b o u n d a r y v a l u e Wh e n o n l y o n e c o n d i t i o n i s n e e d e d i n a p a r t i c u l a r v a r i a b l e i t i s s p e c i f i e d a t o n e f i x e d v a l u e o f t h a t v a r i a b l e Th e b e h a v i o u r o f t h e d e p e n d e n t v a r i a b l e i s r e s t r i c t e d a t t h e b e g i n n i n g o f a r a n g e b u t n o e n d i s s p e c i f i e d Th e r a n g e i s o p e n Wh e n t w o o r m o r e c o n d i t i o n s a r e n e e d e d t h e y c a n a l l b e s p e c i f i e d a t o n e v a l u e o f t h e v a r i a b l e o r s o m e c a n b e s p e c i f i e d a t o n e v a l u e a n d t h e r e s t a t a n o t h e r v a l u e Wh e n c o n d i t i o n s a r e g i v e n a t b o t h e n d s o f a r a n g e o f v a l u e s o f a n i n d e p e n d e n t v a r i a b l e t h e r a n g e i s c l o s e d b y c o n d i t i o n s a t t h e b e g i n n i n g a n d t h e e n d o f t h e r a n g e Wh e n a l l c o n d i t i o n s a r e s t a t e d a t o n e f i x e d v a l u e o f t h e v a r i a b l e t h e r a n g e i s o p e n a s f a r a s t h a t i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s c o n c e r n e d Th e r a n g e i s c l o s e d f o r e v e r y i n d e p e n d e n t v a r i a b l e a b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o r a j u r y p r o b l e m Th e r a n g e o f a n y i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s o p e n a n i n i t i a l v a l u e p r o b l e m o r a m a r c h i n g p r o b l e m 1本文由o h n g i p e e x 贡献 p p t 文档可能在WAP端浏览体验不佳 建议您优先选择TXT 或下载源文件到本机 查看 化工應用數學 授課教師 授課教師 郭修伯 Le c t u r e 2 實驗數據的分析 實驗精確程度 Th e d e g r e e o f a c c u r a c y s o u g h t i n a n y i n v e s t i g a t i o n s h o u l d d e p e n d u p o n t h e p r o j e c t e d u s e o f t h e r e s u l t s a n d t h e a c c u r a c y o f t h e r e q u i r e d d a t a a n d c a l c u l a t i o n s s h o u l d b e c o n s i s t e n t w i t h t h e d e s i r e d a c c u r a c y i n t h e r e s u l t s It i s d e s i r a b l e t o c o m p l e t e t h e i n v e s t i g a t i o n a n d o b t a i n t h e r e q u i r e d a c c u r a c y w i t h a m i n i m u m o f t i m e a n d e x p e n s e Th e a c c u r a c y o f a n u m b e r r e p r e s e n t i n g t h e v a l u e o f a q u a n t i t y i s t h e d e g r e e o f c o n c o r d a n c e b e t w e e n t h i s n u m b e r a n d t h e n u m b e r t h a t r e p r e s e n t s t h e t r u e v a l u e o f t h e q u a n t i t y i t m a y b e e x p r e s s e d i n e i t h e r a b s o l u t e o r r e l a t i v e t e r m s 誤差來源 p a g e 7 Ac c i d e n t a l e r r o r s o f m e a s u r e m e n t Su c h e r r o r s a r e i n e v i t a b l e i n a l l m e a s u r e m e n t s a n d t h a t t h e y r e s u l t f r o m s m a l l u n a v o i d a b l e e r r o r s o f o b s e r v a t i o n d u e t o m o r e o r l e s s f o r t u i t o u s v a r i a t i o n i n t h e s e n s i t i v i t y o f m e a s u r i n g i n s t r u m e n t a n d t h e k e e n n e s s o f t h e s e n s e s o f p e r c e p t i o n 例如用了不準的A來校正B 用B的錯誤校正曲 線進 行量測 Pr e c i