构造法在数学竞赛中的应用.pdf

数学活动课程讲座 构 造 法 在 数 学 竞 赛 中 的 应 用 朱 华 伟 广州大学计算机科学与教育软件学院 510006 中图分类号 O141 4 文献标识码 A 文章编号 1005 6416 2010 04 0002 05 收稿日期 2010 01 19 本讲适合初中 解答数学问题时 常规的思考方法是由 已知到结论的顺向思考 或由结论到已知的 逆向思考 但无论是顺向思考还是逆向思考 在解题思路上都不能保证一帆风顺 有时会 遇到一些障碍 此时 同学们可以通过构造适 当的辅助量 如图形 方程 等式 函数等 来 帮助解决困难 使问题中原来隐晦不清的关 系和性质在新的构造过程中清晰地展现出 来 从而简捷地解决问题 运用构造法解题 首先 要认真分析题 目 仔细观察 展开联想 从中发现可用构造 法的因素 其次 借助于与之相关的知识构造 所求问题的具体形式 最后 解出所构造的问 题 但必须回到原来的问题上 1 构造图形 对于代数问题 当用代数方法求解比较 困难时 也可以从数形转化的角度出发 考虑 其几何意义 通过构造几何图形使题设条件 直观地反映出来 从而将代数问题转化为几 何问题求解 例 1 已知正数 a b c A B C 满足 a A b B c C k 求证 aB bC cA k 2 第 21届全苏数学奥林匹克 讲解 1 两个正数的乘积的最简单的几 何意义可以看作是一个几何图形的面积 又 a A b B c C k 可联想以 k 为边长 的正三角形 图 1 如图 1 构造 以 k 为边长的正 PQR 分别在其 各边上取点 L M N 使得 QL A LR a RM B MP b PN C NQ c 由 S LRM S MPN S NQL S PQR 3 4 aB 3 4 bC 3 4 cA 3 4 k 2 aB bC cA k 2 讲解 2 仍从几何图形的面积出发 将 k 2 看作是边长为 k的正方形的面积 将 aB bC cA 看作边长分别为 a与 B b与 C c与 A 图 2 的三个小矩形面积之 和 于是 欲证结论成 立 只需将这三个小 矩形不重叠地嵌入到 边长为 k的正方形即 可 据此构造图 2即 得证 评注 1 当题目的条件中出现两个正 数的积的形式时 可考虑构造矩形 2 在 1989年第 15届全俄数学奥林匹克 中 又出现了一道与本例如出一辙的赛题 见例 8 2中 等 数 学 例 2 设正数 x y z满足方程组 x 2 xy y 2 3 25 y 2 3 z 2 9 z 2 zx x 2 16 求 xy 2yz 3zx的值 讲解 本题若按常规解三元二次方程 组 先求出 x y z 的值 再求代数式的值 势 必陷入繁琐的计算之中 事实上 可将原方程组变形为 x 2 y 3 2 2x y 3 cos 150 5 2 y 3 2 z 2 3 2 z 2 x 2 2zx cos 120 4 2 上述三式与余弦定理及勾股定理结构 图 3 相似 故可构造出 图3 分 别 算 出 ABO BCO CAO 和 ABC 的面积 即可求得 xy 2yz 3zx 24 3 评注 当题目的条件中出现平方和或 平方差的形式时 可以考虑构造直角三角形 当题目的条件中出现 a 2 b 2 ab 可考虑构 造两边为 a 和 b 夹角为 60 或 120 的三 角形 2 构造方程 根据题设的特征 利用方程根的概念 根 的判别式 根与系数的关系等构造方程 从而 利用方程的知识求解 例 3 方程组 x y 2 xy z 2 1 有几组实数解 讲解 由已知得 x y 2 xy z 2 1 从而联想 到韦达定理的逆定理 试用构造方程解决 由韦达定理的逆定理知 x y是方程 t 2 2t z 2 1 0 的两个实根 则 2 2 4 z 2 1 图 4 乙 中的正六边形的六个顶点 A B C D E F及其中心 G 即 7点的祖冲之点集 图 4 请你根据祖冲之点集的定义 在平面上 表示出 1 一个 6点的祖冲之点集 2 一个 10点的祖冲之点集 解 正三角形的三个顶点及三边中点可 构成一个 6点的祖冲之点集 如图 5 甲 中 的 A B C D E F 共 6点 国旗上的正五角 星形的十个顶点构成 10点的祖冲之点集 如图 5 乙 中的 10个点 图 5 思考 n 若命题不正确 只需举一个反例 即可 由于题设不满足三角形全等判定定理 可通过构造反例来否定结论 解 如图 6 在 ABC中 BAC 70 图 6 锐角BCA 70 BD 为 边 AC 上的高 将 BC 沿 BD 翻折 设点 C 落 在 AD 上的点记为 C3 则在 ABC和 ABC3中 有 AB AB BC BC3 A A 但这两个三角形并不全等 这样就构造出否 定结论的反例 练 习 题 1 首项系数不相等的两个二次方程 a 1 x 2 a 2 2 x a 2 2a 0 b 1 x 2 b 2 2 x b 2 2b 0 a bN 有一个公共根 求 a b b a a b b a的值 52010年第 4期 提示 由已知方程得 a 1 b 1 故 a 1 b 1 且 a b 设 x0是两方程的公共根 易 知 x0 1 由方程根的定义知 a b是方程 1 x0 t 2 2 x 2 0 t 2x0 x 2 0 0 的两个不等实根 则 a b 2 x 2 0 x0 1 ab 2x0 x 2 0 x0 1 a 1 b 1 3 a b 2 4 a b b a a b b a a bba 2 4 4 2 256 2 证明 当 n为奇数或 4的倍数时 方程 x 2 y 2 n有正整数解 提示 构造等式 k 1 2 k 2 2k 1及 k 1 2 k 1 2 4k 3 若实数 a b c d e满足条件 a b c d e 8 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 16 试确定 e的最大值 提示 构造二次函数 f x 4x 2 2 a b c d x a 2 b 2 c 2 d2 x a 2 x b 2 x c 2 x d 2 如果不正确 试说明理由 提示 2是无理数 按原命题 2 2是无 理数 则 2 2 2也是无理数 但是 2 2 2 2 2 2 2却是有理数 因而 原命题不 正确 6 设 a b c d 都是正数 求证 存在以 b 2 c2 a2 c 2 d 2 2cd a 2 b2 d 2 2ab 为三边长的三角形 并求此三角形的面积 提示 以 a b c d 为边长作一矩形 ABCD 分别在边 AB AD 上取点 E F 使得 AE b AF c 则 CEF 符合要求 其面积是 1 2 ac bc bd 图 7 7 图 7中有 7 7 49个点 坐标都是 整数 能否从这 4