2019-2020学年高中数学课时作业利用空间向量求角和距离新人教A版选修.doc

教学资料范本2019-2020学年高中数学课时作业利用空间向量求角和距离新人教A版选修编 辑：_时 间：_课时作业19利用空间向量求角和距离|基础巩固|(25分钟.60分)一、选择题(每小题5分.共25分)1已知平面的一个法向量为n(2.2,1).点A(1,3,0)在平面内.则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3C. D.解析：点P到平面的距离d.答案：D2直三棱锥ABCA1B1C1中.BCA90.M.N分别是A1B1.A1C1的中点.BCCACC1.则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：根据已知条件.分别以C1A1.C1B1.C1C所在直线为x.y.z轴.建立如图所示空间直角坐标系.设CA2.则A(2,0,2).N(1,0,0).B(0,2,2).A1(2,0,0).B1(0,2,0).M(1,1,0)；所以(1.1.2).(1,0.2)；所以cos.；所以BM与AN所成角的余弦值为.故选D.答案：D3如图.在长方体ABCDA1B1C1D1中.ABBC2.AA11.则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图所示.建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0).A(2,0,0).B(2,2,0).C(0,2,0).D1(0,0,1).C1(0,2,1).(2,0,1)连接AC.易证AC平面BB1D1D.所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2,2,0)所求角的正弦值为|cosa.|.答案：D4正方形ABCD所在平面外有一点P.PA平面ABCD.若PAAB.则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：建系如图.设AB1.则A(0,0,0).B(0,1,0).P(0,0,1).D(1,0,0).C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x.y.z).则得令x1.则z1.n2(1,0,1).cosn1.n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案：B5已知矩形ABCD与ABEF全等.DABF为直二面角.M为AB中点.FM与BD所成角为.且cos.则AB与BC的边长之比为()A11 B.1C.2 D12解析：设ABa.BCb.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则相关各点坐标为F(b,0,0).M.B(0.a,0).D(0,0.b).(0.a.b).所以|.|.|cos.|.整理得45260.所以.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分.共15分)6直线l的方向向量a(2,3,2).平面的一个法向量n(4,0,1).则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是.a.n所成的角为.sin|cos|.答案：7在正方体ABCDA1B1C1D1中.M.N分别是棱AA1和BB1的中点.则sin._.解析：建立如图所示空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为2.则C(0,2,0).M(2,0,1).D1(0,0,2).N(2,2,1)(2.2,1).(2,2.1)cos.sin.答案：8棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中.M是AA1的中点.则点A1到平面MBD的距离是_解析：以D为原点.DA.DC.DD1所在直线分别为x轴.y轴.z轴.建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0).B(a.a,0).M.A1(a,0.a).所以(a.a,0).设平面MBD的法向量为n(x.y.z).则即所以令x1.则n(1.1.2).所以点A1到平面MBD的距离为da.答案：a三、解答题(每小题10分.共20分)9正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a.侧棱长为a.求AC1与侧面ABB1A1的夹角解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0).B(0.a,0).A1(0,0.a).C1.B1(0.a.a)方法一如图.取A1B1的中点M.则M.连接AM.MC1.则.(0.a,0).(0,0.a)0.0.MC1平面ABB1A1.C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.02a2.又|a.|.cos.30.即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.方法二(0.a,0).(0,0.a)设侧面ABB1A1的法向量为n(.x.y).则n0且n0.ax0且ay0.xy0.故n(.0,0)又.cos.n.设AC1与侧面ABB1A1的夹角为.则sin|cos.n|.30.即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.10如图.在直三棱柱ABCA1B1C1中.CA4.CB4.CC12.ACB90.点M在线段A1B1上(1)若A1M3MB1.求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30.试确定点M的位置解析：(1)分别以CA.CB.CC1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系.如图所示Cxyz.则C(0,0,0).A(4,0,0).A1(4,0,2).B1(0,4,2)因为A1M3MB1.所以M(1,3,2).可得(4,0.2).(3,3,2).所以cos.所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.(2)由(1)得B(0,4,0).B1(0,4,2).所以(4,4,0).(4,0,2)设n(a.b.c)是平面ABC1的法向量.可得取a1.得b1.c.所以n(1,1.).而直线AM与平面ABC1所成角为30.可得与n所成角为60或120.所以|cos.n|.设点M的横坐标为x.则(x4,4x,2).即.解得x2或6.由M在线段A1B1上可得0x4.故x2.即点M为线段A1B1的中点时.满足直线AM与平面ABC1所成角为30.|能力提升|(20分钟.40分)11正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a.则点C1到平面A1BD的距离是()A.a B.aC.a D.a解析：以A为原点.AB.AD.AA1所在直线为x.y.z轴建立空间直角坐标系.则(a.a.a).(0.a.a).由于AC1平面A1BD.所以点C1到平面A1BD的距离是a.故选D.答案：D12如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.O是平面A1B1C1D1的中心.则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立空间直角坐标系如图.则B(1,1,0).O.(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又.BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：13如图.正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直.ADE90.AFDE.DEDA2AF2.请建立适当的直角坐标系解答下列问题：(1)求证：AC平面BEF；(2)求平面BEF与平面ABCD所成角的余弦值解析：(1)证明：以点D为坐标原点.分别以DA.DC.DE为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0).A(2,0,0).B(2,2,0).C(0,2,0).E(0,0,2).F(2,0,1)(0.2,1).(2.2,2).(2,2,0)设平面BEF的法向量n(x.y.z).则有n0.n0.即2yz0.2x2y2z0.取y1.则z2.x1.所以n(1,1,2).又n0.所以n.又AC平面BEF.所以AC平面BEF.(2)易知(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量.cos.n.即平面BEF与平面ABCD所成角的余弦值为.14如图1所示.在边长为12的正方形AAA1A1中.BB1CC1AA1.且AB3.BC4.AA1分别交BB1.CC1于点P.Q.将该正方形沿BB1.CC1折叠.使得AA1与AA1重合.构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1.请在图2中解决下列问题：(1)求证：ABPQ；(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值解析：(1)证明：由题图1知.CAAAABBC5.BPAB3.CQAC7.在题图2中.因为AB2BC2AC2.所以ABBC.又B1BAB.B1BBC.所以.以B为原点.分别以直线AB.BC.BB1为坐标轴.建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.则B(0,0,0).A(3,0,0).C(0,4,0).A1(3,0,1