2017_18版高中数学第三单元导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数教学案.docx

31.1函数的平均变化率31.2瞬时速度与导数学习目标1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3观察函数yf(x)的图象，平均变化率表示什么？梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：_的增量与_的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的_知识点二瞬时变化率思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，试求物体在1,1t这段时间内的平均速度思考2当t趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当_时，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率为_趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度(2)函数的瞬时变化率设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变x时，函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)，如果当x趋近于0时，平均变化率_趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率知识点三函数在某一点处的导数与导函数思考f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？梳理(1)函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的_称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作_，即f(x0)_.(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个_，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)(或yx、y)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.类型一函数的平均变化率例1(1)已知函数f(x)2x23x5.求：当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；求：当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率.(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(2)再计算自变量的改变量xx2x1；(3)得平均变化率.跟踪训练1(1)已知函数f(x)x22x5的图象上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，则_.(2)如图所示是函数yf(x)的图象，则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_类型二求瞬时速度例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度引申探究1若本例的条件不变，试求物体的初速度2若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)求平均速度.求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即vs(t0)跟踪训练2一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值类型三求函数在某一点处的导数例3求函数f(x)在x1处的导数反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪训练3已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.1一物体的运动方程是s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度是()A0.4 B2 C0.3 D0.22函数f(x)在x0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关3当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为_4函数yf(x)2x24x在x3处的导数为_5已知函数f(x)在x1处的导数为2，则实数a的值是_利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)取极限，得导数f(x0) .简记为一差，二比，三极限特别提醒：取极限前，要注意化简，保证使当x0时，分母不为0.函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关答案精析问题导学知识点一思考1自变量x的改变量为x2x1，记作x，函数值y的改变量为y2y1，记作y.思考2对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度思考3观察图象可看出，表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率梳理(2)函数值自变量(4)斜率知识点二思考1s5(1t)2510t5(t)2，105t.思考2当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度梳理(1)t0到t0t(2)知识点三思考f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值f(x)是f(x)的导函数，它是一个函数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值梳理(1)瞬时变化率f(x0)或y|xx0 (2)确定的导数f(x)题型探究例1解(1)因为f(x)2x23x5，所以yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x3x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.2x4x13.当x14，x25时，x1，y2(x)2(4x13)x21921，21.当x14，x24.1时，x0.1，y2(x)2(4x13)x0.021.91.92.2x4x1319.2.(2)在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大跟踪训练1(1)x(2)解析(1)x.(2)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.由函数f(x)的图象知，f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.例2解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3，即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1解1t， (1t)1.物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，2t01t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时