2017_18版高中数学第1章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积学案苏教版选修.docx

15.1曲边梯形的面积学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？ 思考2如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？1曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线_所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)2求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多_，对每个_“以直代曲”，即用_的面积近似代替_的面积，得到每个小曲边梯形面积的_，对这些近似值_，就得到曲边梯形面积的_(如图所示) 3求曲边梯形面积的步骤：_，_，_，_.知识点二求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用_、_、_、_的方法，求出它在atb内所作的位移s.类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积反思与感悟求曲边梯形的面积：(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割以直代曲作和逼近(3)关键：以直代曲(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积类型二求变速运动的路程例2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”、“逼近”的思想求解求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪训练2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)1把区间1,3 n等分，所得n个小区间的长度均为_2若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为_3在等分区间的情况下，f(x)(x0,1)与x轴所围成的曲边梯形面积和式正确的是_(填序号)n时，；n时，；n时，；n时，.4求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割：n等分区间a，b；(2)以直代曲：取点ixi1，xi；(3)作和：(i)；(4)逼近：n时，(i)S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)2变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题提醒：完成作业1.5.1答案精析问题导学知识点一思考1直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考2已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段1yf(x)2小曲边梯形小曲边梯形小矩形小曲边梯形近似值求和近似值3分割以直代曲作和逼近知识点二分割近似代替作和逼近题型探究例1解(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间0,1等分成n个小区间：0，简写作，(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间，上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)()(1)为其一边长，以小区间长度x为邻边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif(i)x()(1)(i1,2，n)(3)作和曲边梯形的面积近似值为SSi(i)x()(1)021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1)(1)(4)逼近当分割无限变细，即x0时，n，此时(1)S.从而有S.所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.跟踪训练1解yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分，则x， 取i.(2)以直代曲、作和Sn202122232(n1)2(1)(1)(3)逼近n时，(1)(1).所求平面图形的面积为S阴影24.2S阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积为.例2解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2，n)，则显然有ssi.(2)以直代曲取i(i1,2，n)，用小矩形的面积si近似地代替si，于是sisiv()t3()22(i1,2，n)(3)作和snsi()(1222n2)448(1)(1)4.(4)逼近当n时，8(1)(1)412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.跟踪训练2解分割在时间区间0,2上等间隔地插入(n1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，t，把汽车在时间段0，2上行驶的路程分别记为s1，s2