2017_18版高中数学第三章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质学案北师大版选修.docx

2.2抛物线的简单性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y22px(p0)中，x_，y_.抛物线y22px(p0)中，x_，y_.抛物线x22py(p0)中，x_，y_.抛物线x22py(p0)中，x_，y_.知识点二四种形式的抛物线的简单性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)准线方程xxyy顶点坐标O(0,0)离心率e1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数. 当k0时，若0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；若0，直线与抛物线有_个公共点；若0)，|PF|x0|x0；抛物线y22px(p0)，|PF|x0|x0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0；抛物线x22py(p0)，|PF|y0|y0.(2)已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：y1y2p2，x1x2；|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)；SABO(为直线AB的倾斜角)；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.类型三抛物线综合问题命题角度1与抛物线有关的最值问题例3抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，求的最小值.反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.命题角度2定值或定点问题例4抛物线y22px(p0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；(2)若|MF|4，|OQ|6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练4在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点，4，求证：直线l必过一定点.1.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A. B.1 C. D.2.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B.3 C. D.3.过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|_.4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.5.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|AF|，则AFK的面积为_. 1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.提醒：完成作业第三章22.2答案精析问题导学知识点一思考(1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.(2)由抛物线y22px(p0)有所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理0，)(，)(，0(，)(，)0，)(，)(，0知识点三两一没有平行或重合1题型探究例1解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p0).抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3, p6.抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3或x3.引申探究解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)，直线l：x，所以A，B两点坐标为(，m)，(，m)，所以|AB|2|m|.因为OAB的面积为4，所以|2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.跟踪训练1解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2ax(a0).设抛物线与圆x2y24的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).抛物线y2ax(a0)与圆x2y24都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，|y1|y2|且|y1|y2|2，|y1|y2|，代入圆x2y24，得x234，x1，A(1，)或A(1，)，代入抛物线方程，得()2a，a3.所求抛物线方程是y23x或y23x.例2(1)16(2)xy10或xy10(3)跟踪训练2解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y. 联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.例3解抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过点P作PN垂直x1于点N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.跟踪训练3A例4(1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0，x0为已知值.由题意得x0，线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，其中t0(否则|AF|MF|BF|p0).而kAB，故线段AB的垂直平分线的方程为yt(xx0)，即t(xx0p)yp0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0p,0).(2)解由(1)知|MF|4，|OQ|6，得x04，x0p6，联立解得p4，x02.抛物线方程为y28x.跟踪训练4证明设l：xtyb，